新讲 第10章 广义积分 第1题
📝 题目
解 因为
$$ \left| \frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\right| \leq \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{{x}^{\frac{3}{2}}}, $$
所以积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x}$ 绝对收敛.
💡 答案解析
解 因为
$$ \left| \frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\right| \leq \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{{x}^{\frac{3}{2}}}, $$
所以积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x}$ 绝对收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：估计被积函数的绝对值
由于 |sin x| ≤ 1，所以 |sin x/(x√x)| ≤ 1/(x√x) = 1/x^(3/2)。
公式：|sin x| ≤ 1
提示：利用三角函数的界进行放缩。
步骤 2/3
目标：判断比较积分的收敛性
考虑积分 ∫_1^∞ 1/x^(3/2) dx，由于 p=3/2>1，该积分收敛。
公式：∫_1^∞ 1/x^p dx 当 p>1 时收敛
提示：p-积分的收敛条件。
步骤 3/3
目标：应用比较判别法
因为 |sin x/(x√x)| ≤ 1/x^(3/2) 且 ∫_1^∞ 1/x^(3/2) dx 收敛，所以原积分绝对收敛。
公式：比较判别法：若 |f(x)| ≤ g(x) 且 ∫g(x) 收敛，则 ∫f(x) 绝对收敛
提示：注意是绝对收敛，需要先证明绝对值积分收敛。
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