新讲 第10章 广义积分 第3题

教材习题

📝 题目

解 因为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{p} \cdot \frac{\arctan x}{{x}^{p}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\arctan x = \frac{\pi }{2}, $$

所以,对于 $p > 1$ ,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛; 对于 $p \leq 1$ ,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}$ 发散.

定理 1 只适用于判别积分是否绝对收敛. 为了判别条件收敛性, 我们需要另外一些法则.

定理 2 (狄利克雷判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $\lbrack a, + \infty )$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a,H}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果

(1)存在 $\Delta > a$ ,使得 $f$ 在 $\lbrack \Delta , + \infty )$ 上是单调的,并且

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0; $$

(2)存在 $K \geq 0$ ,使得

$$ \left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq K,\;\forall H \geq a, $$

那么积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

收敛.

证明 对充分大的 $H$ 和 ${H}^{\prime } > H$ ,我们来估计

$$ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . } $$

根据第二中值定理

$$ {\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( H\right) {\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x + f\left( {H}^{\prime }\right) {\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

于是

$$ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \left| {f\left( H\right) }\right| \left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| $$

$$ + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| \left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . } $$

容易看到

$$ \left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| = \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| $$

$$ \leq \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| + \left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| $$

$$ \leq {2K}, $$

同样有

$$ \left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}. $$

我们得到

$$ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) . $$

但

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0, $$

所以对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 ${\Delta }^{\prime } \geq \Delta$ ,使得只要

$$ {H}^{\prime } > H > {\Delta }^{\prime }, $$

就有

$$ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) < \varepsilon . $$

这证明了积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

的收敛性.

定理 3 (阿贝尔判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $\lbrack a, + \infty )$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a,H}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果

( 1 )存在 $\Delta > a$ ,使得 $f$ 在 $\lbrack \Delta , + \infty )$ 上单调并且有界；

(2) 积分 $\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x$ 收敛,

那么积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

也收敛.

证明 因为函数 $f$ 在 $\displaystyle{\left\lbrack {\Delta , + \infty }\right\rbrack}$ 单调并且有界,所以存在有穷极限

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l $$

于是

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\left( {f\left( x\right) - l}\right) = 0. $$

根据狄利克雷判别法 (定理 2), 我们断定积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }\left( {f\left( x\right) - l}\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

收敛. 再利用积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

的收敛性, 即可断定积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

收敛.

注记 定理 3 也可根据收敛原理直接证明(用第二中值定理估

计),请读者自己练习.

💡 答案解析

解 因为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{p} \cdot \frac{\arctan x}{{x}^{p}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\arctan x = \frac{\pi }{2}, $$

所以,对于 $p > 1$ ,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛; 对于 $p \leq 1$ ,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\arctan x}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x}$ 发散.

定理 1 只适用于判别积分是否绝对收敛. 为了判别条件收敛性, 我们需要另外一些法则.

定理 2 (狄利克雷判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $\lbrack a, + \infty )$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a,H}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果

(1)存在 $\Delta > a$ ,使得 $f$ 在 $\lbrack \Delta , + \infty )$ 上是单调的,并且

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0; $$

(2)存在 $K \geq 0$ ,使得

$$ \left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq K,\;\forall H \geq a, $$

那么积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

收敛.

证明 对充分大的 $H$ 和 ${H}^{\prime } > H$ ,我们来估计

$$ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . } $$

根据第二中值定理

$$ {\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( H\right) {\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x + f\left( {H}^{\prime }\right) {\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

于是

$$ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \left| {f\left( H\right) }\right| \left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| $$

$$ + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| \left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \text{ . } $$

容易看到

$$ \left| {{\int }_{H}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| = \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| $$

$$ \leq \left| {{\int }_{a}^{\xi }g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| + \left| {{\int }_{a}^{H}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| $$

$$ \leq {2K}, $$

同样有

$$ \left| {{\int }_{\xi }^{{H}^{\prime }}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}. $$

我们得到

$$ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) . $$

但

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0, $$

所以对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 ${\Delta }^{\prime } \geq \Delta$ ,使得只要

$$ {H}^{\prime } > H > {\Delta }^{\prime }, $$

就有

$$ \left| {{\int }_{H}^{{H}^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq {2K}\left( {\left| {f\left( H\right) }\right| + \left| {f\left( {H}^{\prime }\right) }\right| }\right) < \varepsilon . $$

这证明了积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

的收敛性.

定理 3 (阿贝尔判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $\lbrack a, + \infty )$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a,H}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果

( 1 )存在 $\Delta > a$ ,使得 $f$ 在 $\lbrack \Delta , + \infty )$ 上单调并且有界；

(2) 积分 $\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x$ 收敛,

那么积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

也收敛.

证明 因为函数 $f$ 在 $\displaystyle{\left\lbrack {\Delta , + \infty }\right\rbrack}$ 单调并且有界,所以存在有穷极限

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l $$

于是

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\left( {f\left( x\right) - l}\right) = 0. $$

根据狄利克雷判别法 (定理 2), 我们断定积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }\left( {f\left( x\right) - l}\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

收敛. 再利用积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

的收敛性, 即可断定积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

收敛.

注记 定理 3 也可根据收敛原理直接证明(用第二中值定理估

计),请读者自己练习.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析积分 ∫_1^∞ (arctan x)/x^p dx 的收敛性
考虑极限 lim_{x→+∞} x^p * (arctan x)/x^p = lim_{x→+∞} arctan x = π/2，因此被积函数与 1/x^p 同阶。根据比较判别法，当 p>1 时积分收敛，当 p≤1 时积分发散。
公式：\lim_{x\to +\infty} x^p \cdot \frac{\arctan x}{x^p} = \frac{\pi}{2}
提示：注意 arctan x 在无穷远处趋于 π/2，因此主要项是 1/x^p。
步骤 2/5
目标：引入狄利克雷判别法
定理2：设 f 和 g 在 [a,+∞) 上常义可积，若存在 Δ>a 使得 f 在 [Δ,+∞) 上单调且 lim_{x→+∞} f(x)=0，且存在 K≥0 使得 |∫_a^H g(x)dx| ≤ K 对所有 H≥a 成立，则 ∫_a^∞ f(x)g(x)dx 收敛。
公式：\left|\int_a^H g(x)dx\right| \leq K
提示：狄利克雷判别法用于判断条件收敛，要求 f 趋于0且单调，g 的积分有界。
步骤 3/5
目标：证明狄利克雷判别法
对充分大的 H 和 H' > H，利用第二中值定理：∫_H^{H'} f(x)g(x)dx = f(H)∫_H^ξ g(x)dx + f(H')∫_ξ^{H'} g(x)dx。然后估计绝对值，利用 g 积分有界得到 ≤ 2K(|f(H)|+|f(H')|)。由 f 趋于0，对任意 ε>0，存在 Δ' 使得当 H'>H>Δ' 时该值小于 ε，从而积分收敛。
公式：\left|\int_H^{H'} f(x)g(x)dx\right| \leq 2K(|f(H)|+|f(H')|)
提示：第二中值定理是关键，将积分转化为两个部分。
步骤 4/5
目标：引入阿贝尔判别法
定理3：设 f 和 g 在 [a,+∞) 上常义可积，若存在 Δ>a 使得 f 在 [Δ,+∞) 上单调有界，且 ∫_a^∞ g(x)dx 收敛，则 ∫_a^∞ f(x)g(x)dx 收敛。
公式：\lim_{x\to +\infty} f(x) = l \text{ 存在}
提示：阿贝尔判别法可由狄利克雷判别法推出，通过考虑 f(x)-l。
步骤 5/5
目标：证明阿贝尔判别法
由 f 单调有界知极限 l 存在，则 f(x)-l 趋于0且单调，由狄利克雷判别法知 ∫_a^∞ (f(x)-l)g(x)dx 收敛，又 ∫_a^∞ g(x)dx 收敛，相加得 ∫_a^∞ f(x)g(x)dx 收敛。
公式：\int_a^\infty (f(x)-l)g(x)dx \text{ 收敛}
提示：注意 f(x)-l 满足狄利克雷条件。

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