新讲 第10章 广义积分 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 考察积分

$$ \mathrm{B}\left( {\alpha ,\beta }\right) = {\int }_{0}^{1}{x}^{\alpha - 1}{\left( 1 - x\right) }^{\beta - 1}\mathrm{\;d}x $$

的收敛性,其中 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ .

💡 答案解析

解 因为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}{x}^{1 - a}\left| {{x}^{a - 1}{\left( 1 - x\right) }^{\beta - 1}}\right| = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}{\left( 1 - x\right) }^{\beta - 1} = 1, $$

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1 - }}{\left( 1 - x\right) }^{1 - \beta }\left| {{x}^{\alpha - 1}{\left( 1 - x\right) }^{\beta - 1}}\right| = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1 - }}{x}^{\alpha - 1} = 1, $$

所以,当 $1 - \alpha < 1,1 - \beta < 1$ 时,也就是 $\alpha > 0,\beta > 0$ 时,积分 $\mathrm{B}\left( {\alpha ,\beta }\right)$ 收敛. 对其他情形,这积分发散.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：分析被积函数在积分区间端点的奇异性
被积函数 f(x)=x^{α-1}(1-x)^{β-1} 在 x=0 和 x=1 处可能具有奇异性，需要分别考虑这两个端点附近的收敛性。
提示：注意 α,β 为实数，当指数为负时，函数在端点附近趋于无穷大。
步骤 2/4
目标：判断 x=0 附近的收敛性
考虑极限 lim_{x→0+} x^{1-α} |x^{α-1}(1-x)^{β-1}| = lim_{x→0+} (1-x)^{β-1} = 1。由比较判别法，积分在 x=0 附近收敛当且仅当 1-α < 1，即 α > 0。
公式：lim_{x→0+} x^{1-α} f(x) = 1
提示：比较判别法：若 lim_{x→0+} x^p f(x) = L (0
步骤 3/4
目标：判断 x=1 附近的收敛性
考虑极限 lim_{x→1-} (1-x)^{1-β} |x^{α-1}(1-x)^{β-1}| = lim_{x→1-} x^{α-1} = 1。由比较判别法，积分在 x=1 附近收敛当且仅当 1-β < 1，即 β > 0。
公式：lim_{x→1-} (1-x)^{1-β} f(x) = 1
提示：类似地，在 x=1 处，比较函数为 (1-x)^{-p}，收敛条件为 p<1。
步骤 4/4
目标：综合结论
积分 B(α,β) 收敛当且仅当 α>0 且 β>0。否则，积分发散。
提示：注意：当 α≤0 或 β≤0 时，积分在相应端点发散，因此整体发散。

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