新讲 第12章 多元微分学 第1题
📝 题目
例 1 考察函数
$$ f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {xy}\frac{{x}^{2} - {y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}, & \text{ 如果 }\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) , \\ 0, & \text{ 如果 }\left( {x,y}\right) = \left( {0,0}\right) . \end{array}\right. $$
我们来比较 ${f}_{xy}\left( {0,0}\right)$ 与 ${f}_{yx}\left( {0,0}\right)$ . 为此,先要做一些计算.
对于 $y \neq 0$ 的情形,要计算 ${f}_{x}\left( {0,y}\right)$ ,可以利用表示式
$$ f\left( {x,y}\right) = {xy}\frac{{x}^{2} - {y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}. $$
将这式对 $x$ 求导,然后再令 $x = 0$ ,就得到
$$ {f}_{x}\left( {0,y}\right) = - y\;\left( {y \neq 0}\right) . $$
为了计算 ${f}_{x}\left( {0,0}\right)$ ,需要直接利用偏导数的定义:
$$ {f}_{x}\left( {0,0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {h,0}\right) - f\left( {0,0}\right) }{h} = 0. $$
这样, 我们求得
$$ {f}_{x}\left( {0,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} - y, & \text{ 如果 }y \neq 0. \\ 0, & \text{ 如果 }y = 0; \end{array}\right. $$
用类似的办法可得
$$ {f}_{y}\left( {x,0}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$
在此基础上, 可进一步求出:
$$ {f}_{xy}\left( {0,0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow 0}}\frac{{f}_{x}\left( {0,k}\right) - {f}_{x}\left( {0,0}\right) }{k} = - 1, $$
$$ {f}_{yx}\left( {0,0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{f}_{y}\left( {h,0}\right) - {f}_{y}\left( {0,0}\right) }{h} = 1. $$
我们看到:
$$ {f}_{xy}\left( {0,0}\right) \neq {f}_{yx}\left( {0,0}\right) . $$
但只要两个二阶混合偏导数都连续, 就不会出现上例中的情形.
定理 1 如果函数 $f\left( {x,y}\right)$ 的两个二阶混合偏导数 ${f}_{xy}\left( {x,y}\right)$ 和 ${f}_{yx}\left( {x,y}\right)$ 在点 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 邻近存在并且在点 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 连续,那么就有
$$ {f}_{xy}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {f}_{yx}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) . $$
💡 答案解析
证明 考察一元函数
$$ \varphi \left( x\right) = f\left( {x,{y}_{0} + k}\right) - f\left( {x,{y}_{0}}\right) $$
和
$$ \psi \left( y\right) = f\left( {{x}_{0} + h,y}\right) - f\left( {{x}_{0},y}\right) . $$
利用一元函数的有限增量公式可得
$$ \varphi \left( {{x}_{0} + h}\right) - \varphi \left( {x}_{0}\right) = {\varphi }^{\prime }\left( {{x}_{0} + {\theta }_{1}h}\right) h $$
$$ = \left\lbrack {{f}_{x}\left( {{x}_{0} + {\theta }_{1}h,{y}_{0} + k}\right) - {f}_{x}\left( {{x}_{0} + {\theta }_{1}h,{y}_{0}}\right) }\right\rbrack h $$
$$ = {f}_{xy}\left( {{x}_{0} + {\theta }_{1}h,{y}_{0} + {\theta }_{2}k}\right) {hk}, $$
$$ \psi \left( {{y}_{0} + k}\right) - \psi \left( {y}_{0}\right) = {\psi }^{\prime }\left( {{y}_{0} + {\theta }_{3}k}\right) k $$
$$ = \left\lbrack {{f}_{y}\left( {{x}_{0} + h,{y}_{0} + {\theta }_{3}k}\right) - {f}_{y}\left( {{x}_{0},{y}_{0} + {\theta }_{3}k}\right) }\right\rbrack k $$
$$ = {f}_{yx}\left( {{x}_{0} + {\theta }_{4}h,{y}_{0} + {\theta }_{3}k}\right) {hk}, $$
这里
$$ 0 < {\theta }_{1},{\theta }_{2},{\theta }_{3},{\theta }_{4} < 1\text{ . } $$
容易验证
$$ \varphi \left( {{x}_{0} + h}\right) - \varphi \left( {x}_{0}\right) $$
$$ = f\left( {{x}_{0} + h,{y}_{0} + k}\right) - f\left( {{x}_{0} + h,{y}_{0}}\right) $$
$$ - f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + k}\right) + f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) $$
$$ = f\left( {{x}_{0} + h,{y}_{0} + k}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + k}\right) $$
$$ - f\left( {{x}_{0} + h,{y}_{0}}\right) + f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) $$
$$ = \psi \left( {{y}_{0} + k}\right) - \psi \left( {y}_{0}\right) . $$
由此得到
$$ {f}_{xy}\left( {{x}_{0} + {\theta }_{1}h,{y}_{0} + {\theta }_{2}k}\right) = {f}_{yx}\left( {{x}_{0} + {\theta }_{4}h,{y}_{0} + {\theta }_{3}k}\right) . $$
在上式中,让 $\left( {h,k}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 取极限,利用 ${f}_{xy}\left( {x,y}\right)$ 和 ${f}_{yx}\left( {x,y}\right)$ 在点 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 的连续性,即得到
$$ {f}_{xy}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {f}_{yx}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) . $$
定义 设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集. 如果函数 $f$ 和它的直到 $r$ 阶的所有偏导数在 $\Omega$ 上都是连续的,那么我们就说函数 $f$ 在开集 $\Omega$ 上是 $r$ 阶连续可微的.
设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集. 我们约定以
$$ {C}^{r}\left( \Omega \right) $$
表示由所有的在 $\Omega$ 上 $r$ 阶连续可微的函数组成的集合.
定理 2 设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集, $f \in {C}^{r}\left( \Omega \right)$ ,则函数 $f$ 的 $k$ 阶 $\left( {2 \leq k \leq r}\right)$ 混合偏导数与求导顺序无关.
证明 从定理 1 容易得到
$$ \frac{{\partial }^{k}f\left( x\right) }{\partial {x}_{{i}_{k}}\cdots \partial {x}_{{i}_{p + 1}}\partial {x}_{{i}_{p}}\cdots \partial {x}_{{i}_{1}}} $$
$$ = \frac{{\partial }^{k}f\left( x\right) }{\partial {x}_{{i}_{k}}\cdots \partial {x}_{{i}_{p}}\partial {x}_{{i}_{p + 1}}\cdots \partial {x}_{{i}_{1}}}. $$
通过逐次交换相邻的两个求导运算, 可以证明: 只是求导顺序不同的任何两个 $k$ 阶混合偏导数都相等
$$ \frac{{\partial }^{k}f\left( x\right) }{\partial {x}_{{i}_{k}}\cdots \partial {x}_{{i}_{q}}\cdots \partial {x}_{{i}_{p}}\cdots \partial {x}_{{i}_{1}}} $$
$$ = \frac{{\partial }^{k}f\left( x\right) }{\partial {x}_{{i}_{k}}\cdots \partial {x}_{{i}_{p}}\cdots \partial {x}_{{i}_{q}}\cdots \partial {x}_{{i}_{1}}}. $$