新讲 第12章 多元微分学 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 设 $f\left( {x,y}\right)$ 是 $n$ 阶连续可微函数,并设

$$ \varphi \left( t\right) = f\left( {x + {th},y + {tk}}\right) . $$

试计算函数 $\varphi \left( t\right)$ 的 $n$ 阶导数 ${\varphi }^{\left( n\right) }\left( t\right)$ .

💡 答案解析

解 设 $g\left( {x,y}\right)$ 是任意连续可微函数. 我们先对形状如

$$ \psi \left( t\right) = g\left( {x + {th},y + {tk}}\right) $$

的函数, 证明一个求导公式. 运用复合函数求导的链式法则可得

$$ {\psi }^{\prime }\left( t\right) = h\frac{\partial }{\partial x}g\left( {x + {th},y + {tk}}\right) $$

$$ + k\frac{\partial }{\partial y}g\left( {x + {th},y + {tk}}\right) $$

$$ = \left( {h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}}\right) g\left( {x + {th},y + {tk}}\right) . $$

我们看到: 以 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 作用于 $\psi \left( t\right)$ ,相当于以微分算子

$$ \left( {h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}}\right) $$

作用于

$$ g\left( {x + {th},y + {tk}}\right) \text{ . } $$

对于 $n$ 阶连续可微函数 $f\left( {x,y}\right)$ ,我们来计算复合函数

$$ \varphi \left( t\right) = f\left( {x + {th},y + {tk}}\right) $$

的各阶导数. 利用上面讨论的结果, 容易得到

$$ {\varphi }^{\prime }\left( t\right) = \left( {h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}}\right) f\left( {x + {th},y + {tk}}\right) , $$

$$ {\varphi }^{\prime \prime }\left( t\right) = {\left( h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}\right) }^{2}f\left( {x + {th},y + {tk}}\right) , $$

\_\_\_\_\_

$$ {\varphi }^{\left( n\right) }\left( t\right) = {\left( h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}\right) }^{n}f\left( {x + {th},y + {tk}}\right) . $$

对于连续可微足够多次的函数,求偏导数的运算 $\frac{\partial }{\partial x}$ 与 $\frac{\partial }{\partial y}$ 可以交换次序. 涉及 $\frac{\partial }{\partial x}$ 与 $\frac{\partial }{\partial y}$ 这些算子的相加、相乘以及乘以实数的运算,遵循多项式代数中关于文字符号的运算法则. 因此, 算子二项式

$$ {\left( h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}\right) }^{n} $$

可以按照代数中的二项式定理展开:

$$ {\left( h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}\right) }^{n} = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}\left( \begin{array}{l} n \\ p \end{array}\right) {h}^{p}{k}^{n - p}\frac{{\partial }^{n}}{\partial {x}^{p}\partial {y}^{n - p}}, $$

这里

$$ \left( \begin{array}{l} n \\ p \end{array}\right) = \frac{n!}{p!\left( {n - p}\right) !} $$

是二项式系数. 我们所得的结果可以写成

$$ {\varphi }^{\left( n\right) }\left( t\right) = {\left( h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}\right) }^{n}f\left( {x + {th},y + {tk}}\right) $$

$$ = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}\left( \begin{array}{l} n \\ p \end{array}\right) {h}^{p}{k}^{n - p}\frac{{\partial }^{n}}{\partial {x}^{p}\partial {y}^{n - p}}f\left( {x + {th},y + {tk}}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：引入辅助函数并推导求导公式
设 g(x,y) 是任意连续可微函数，定义 ψ(t)=g(x+th, y+tk)。利用复合函数求导的链式法则，得到 ψ'(t)=h ∂g/∂x (x+th, y+tk) + k ∂g/∂y (x+th, y+tk) = (h ∂/∂x + k ∂/∂y) g(x+th, y+tk)。这表明对 t 求导相当于算子 (h ∂/∂x + k ∂/∂y) 作用在函数上。
公式：ψ'(t) = (h ∂/∂x + k ∂/∂y) g(x+th, y+tk)
提示：注意链式法则的应用，将偏导数视为算子。
步骤 2/4
目标：将求导公式推广到 n 阶导数
对于 n 阶连续可微函数 f(x,y)，复合函数 φ(t)=f(x+th, y+tk) 的 n 阶导数可以通过重复应用上述算子得到：φ^{(n)}(t) = (h ∂/∂x + k ∂/∂y)^n f(x+th, y+tk)。
公式：φ^{(n)}(t) = (h ∂/∂x + k ∂/∂y)^n f(x+th, y+tk)
提示：由于 f 足够光滑，偏导数可交换次序，算子可视为多项式。
步骤 3/4
目标：利用二项式定理展开算子
将算子 (h ∂/∂x + k ∂/∂y)^n 按照二项式定理展开：∑_{p=0}^n C(n,p) h^p k^{n-p} ∂^n/(∂x^p ∂y^{n-p})，其中 C(n,p)=n!/(p!(n-p)!) 是二项式系数。
公式：(h ∂/∂x + k ∂/∂y)^n = ∑_{p=0}^n C(n,p) h^p k^{n-p} ∂^n/(∂x^p ∂y^{n-p})
提示：注意算子乘法顺序可交换，因为偏导数可交换。
步骤 4/4
目标：写出最终结果
将展开式代入 φ^{(n)}(t) 的表达式，得到 φ^{(n)}(t) = ∑_{p=0}^n C(n,p) h^p k^{n-p} ∂^n f/(∂x^p ∂y^{n-p}) (x+th, y+tk)。
公式：φ^{(n)}(t) = ∑_{p=0}^n C(n,p) h^p k^{n-p} ∂^n f/(∂x^p ∂y^{n-p}) (x+th, y+tk)
提示：最终结果是一个求和形式，每一项是偏导数乘以系数。

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