📝 题目
例 3 试计算积分
$$ I = {\iiint }_{E}\frac{\mathrm{d}\left( {x,y,z}\right) }{{\left( 1 + x + y + z\right) }^{3}}, $$
这里 $E$ 是四面体
$$ \{ \left( {x,y,z}\right) \mid x,y,z \geq 0,x + y + z \leq 1\} . $$
💡 答案解析
解 化为累次积分计算得
$$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\iint }_{{E}_{x}}\frac{\mathrm{d}\left( {y,z}\right) }{{\left( 1 + x + y + z\right) }^{3}} $$
$$ = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{1 - x}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{1 - x - y}\frac{\mathrm{d}z}{{\left( 1 + x + y + z\right) }^{3}} $$
$$ = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{1 - x}\frac{1}{2}\left\lbrack {\frac{1}{{\left( 1 + x + y\right) }^{2}} - \frac{1}{4}}\right\rbrack \mathrm{d}y $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\left( {\frac{1}{1 + x} + \frac{x}{4} - \frac{3}{4}}\right) \mathrm{d}x $$
$$ = \frac{1}{2}\left( {\ln 2 - \frac{5}{8}}\right) . $$
📋 详细解题步骤
目标：将三重积分化为累次积分
积分区域E是四面体，满足x,y,z≥0且x+y+z≤1。先对z积分，再对y积分，最后对x积分。
公式：I = ∫₀¹ dx ∬_{E_x} dy dz / (1+x+y+z)³
提示：确定积分限：x从0到1，对于固定的x，y从0到1-x，对于固定的x和y，z从0到1-x-y。
目标：写出累次积分表达式
将三重积分写为三次积分形式。
公式：I = ∫₀¹ dx ∫₀^{1-x} dy ∫₀^{1-x-y} dz / (1+x+y+z)³
提示：注意积分次序：先z，再y，最后x。
目标：计算内层积分（对z）
对z积分，被积函数为1/(1+x+y+z)³，原函数为-1/(2(1+x+y+z)²)。代入上下限。
公式：∫₀^{1-x-y} dz/(1+x+y+z)³ = [ -1/(2(1+x+y+z)²) ]₀^{1-x-y} = 1/2 [ 1/(1+x+y)² - 1/4 ]
提示：注意代入上限z=1-x-y时，1+x+y+z=2；代入下限z=0时，1+x+y+z=1+x+y。
目标：计算第二层积分（对y）
对y积分，被积函数为1/2 [1/(1+x+y)² - 1/4]，积分限y从0到1-x。
公式：∫₀^{1-x} 1/2 [1/(1+x+y)² - 1/4] dy = 1/2 [ -1/(1+x+y) - y/4 ]₀^{1-x} = 1/2 [ 1/(1+x) + x/4 - 3/4 ]
提示：注意积分：∫ dy/(1+x+y)² = -1/(1+x+y)；∫ dy = y。
目标：计算最外层积分（对x）
对x积分，被积函数为1/2 [1/(1+x) + x/4 - 3/4]，积分限x从0到1。
公式：I = 1/2 ∫₀¹ [1/(1+x) + x/4 - 3/4] dx = 1/2 [ ln(1+x) + x²/8 - 3x/4 ]₀¹ = 1/2 ( ln2 + 1/8 - 3/4 ) = 1/2 ( ln2 - 5/8 )
提示：注意：∫ dx/(1+x) = ln(1+x)；∫ x dx = x²/2，所以x/4的积分为x²/8；∫ 3/4 dx = 3x/4。