新讲 第13章 重积分 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 设二元函数 $f$ 在闭区域 $D$ 连续. 对以下情形 (1) 和 (2), 试用极坐标变换把

$$ I = {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) $$

化为累次积分, 其中

(1) $D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid {a}^{2} \leq {x}^{2} + {y}^{2} \leq {b}^{2}}\right\}$ ;

(2) $D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} \leq {2ax}}\right\}$ .

💡 答案解析

解(1)做通常的极坐标变换就可得到

$$ {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{a}^{b}f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta }\right) r\mathrm{\;d}r $$

(2)以(a,0)为极点,做极坐标变换

$$ \left\{ \begin{array}{l} x = a + r\cos \theta , \\ y = r\sin \theta , \end{array}\right. $$

我们得到

$$ {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{a}f\left( {a + r\cos \theta ,r\sin \theta }\right) r\mathrm{\;d}r. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：对情形(1)进行极坐标变换
由于D是圆环域，采用通常的极坐标变换：x = r cosθ, y = r sinθ，其中r从a到b，θ从0到2π。面积元dxdy = r dr dθ。
公式：x = r cosθ, y = r sinθ, dxdy = r dr dθ
提示：注意r的范围由内圆半径a和外圆半径b确定，θ取全周0到2π。
步骤 2/4
目标：写出情形(1)的累次积分
将变换代入积分，得到累次积分：∫_{0}^{2π} dθ ∫_{a}^{b} f(r cosθ, r sinθ) r dr。
公式：I = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{a}^{b} f(r cosθ, r sinθ) r dr
提示：注意积分顺序：先对r积分，再对θ积分。
步骤 3/4
目标：对情形(2)进行极坐标变换
D是圆域x²+y² ≤ 2ax，即(x-a)²+y² ≤ a²，圆心在(a,0)，半径为a。采用以(a,0)为极点的极坐标变换：x = a + r cosθ, y = r sinθ，其中r从0到a，θ从0到2π。面积元dxdy = r dr dθ。
公式：x = a + r cosθ, y = r sinθ, dxdy = r dr dθ
提示：注意圆心不在原点，需平移极坐标。
步骤 4/4
目标：写出情形(2)的累次积分
将变换代入积分，得到累次积分：∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{a} f(a + r cosθ, r sinθ) r dr。
公式：I = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{a} f(a + r cosθ, r sinθ) r dr
提示：注意r的上限是半径a，θ取全周0到2π。

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