新讲 第13章 重积分 第9题
📝 题目
例 9 试计算积分
$$ I = {\iint }_{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \leq 1}\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}\mathrm{d}\left( {x,y}\right) . $$
💡 答案解析
解 先做变换
$$ x = {au},\;y = {bv}, $$
我们得到
$$ I = {ab}{\iint }_{{u}^{2} + {v}^{2} \leq 1}\sqrt{{u}^{2} + {v}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {u,v}\right) . $$
再做极坐标变换就得到
$$ I = {ab}{\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{1}{r}^{2}\mathrm{\;d}r = \frac{2\pi }{3}{ab}. $$
其实, 我们可以把两个变换合起来, 从一开始就令
$$ x = {ar}\cos \theta ,\;y = {br}\sin \theta . $$
这样的变换被称为广义极坐标变换(或者:椭圆坐标变换),其雅可比行列式为
$$ \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {r,\theta }\right) } = \left| \begin{array}{rr} a\cos \theta & - {ar}\sin \theta \\ b\sin \theta & {br}\cos \theta \end{array}\right| = {abr}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：进行变量替换，将椭圆区域变为单位圆区域
令 x = a u, y = b v，则积分区域变为 u^2 + v^2 ≤ 1，被积函数变为 √(u^2 + v^2)，dxdy = ab dudv，因此 I = ab ∬_{u^2+v^2≤1} √(u^2+v^2) dudv。
公式：x = a u, y = b v, dxdy = ab dudv
提示：注意雅可比行列式为 ab。
步骤 2/3
目标：使用极坐标变换计算二重积分
令 u = r cos θ, v = r sin θ，则积分区域变为 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π，被积函数 √(u^2+v^2) = r，dudv = r dr dθ，因此 I = ab ∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 r * r dr = ab ∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 r^2 dr。
公式：u = r cos θ, v = r sin θ, dudv = r dr dθ
提示：注意极坐标变换的雅可比行列式为 r。
步骤 3/3
目标：计算积分结果
先计算内层积分 ∫_0^1 r^2 dr = 1/3，再计算外层积分 ∫_0^{2π} dθ = 2π，相乘得 2π/3，再乘以 ab 得 I = (2π/3)ab。
公式：∫_0^1 r^2 dr = 1/3, ∫_0^{2π} dθ = 2π
提示：注意积分顺序和乘法。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。