新讲 第2章 极 限 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 设 $a > 0,{x}_{0} > 0$ . 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 由以下递推公式定义:

$$ {x}_{n} = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n - 1} + \frac{a}{{x}_{n - 1}}}\right) ,\;n = 1,2,\cdots . $$

试证

$$ \lim {x}_{n} = \sqrt{a}. $$

💡 答案解析

证明 我们有

$$ t + \frac{1}{t} \geq 2,\;\forall t > 0. $$

(这是算术平均数与几何平均数不等式的一种特殊情形. 直接证明也很容易. )由此可得

$$ {x}_{n} = \frac{\sqrt{a}}{2}\left( {\frac{{x}_{n - 1}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{{x}_{n - 1}}}\right) \geq \sqrt{a},\;\forall n \in \mathbb{N}. $$

由此又可得到

$$ \frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{a}{{x}_{n}^{2}}}\right) \leq 1,\;\forall n \in \mathbb{N}, $$

也就是

$$ {x}_{n + 1} \leq {x}_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}. $$

序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 递减而有下界,可设

$$ \lim {x}_{n} = x\text{ . } $$

显然有

$$ x \geq \sqrt{a} > 0\text{ . } $$

序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 满足递推公式

$$ {x}_{n + 1} = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n} + \frac{a}{{x}_{n}}}\right) . $$

在该公式中让 $\displaystyle{n \rightarrow + \infty}$ 取极限就得到

$$ x = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{a}{x}}\right) , $$

即

$$ {x}^{2} = a\text{ . } $$

但已知 $x > 0$ ,所以 $x = \sqrt{a}$ . 我们得到:

$$ \lim {x}_{n} = x = \sqrt{a}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：证明所有项有下界√a
利用不等式 t + 1/t ≥ 2 (t>0)，令 t = x_{n-1}/√a，则 x_n = (√a/2)(x_{n-1}/√a + √a/x_{n-1}) ≥ √a，故对所有 n，x_n ≥ √a。
公式：x_n = \frac{\sqrt{a}}{2}\left(\frac{x_{n-1}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{x_{n-1}}\right) \geq \sqrt{a}
提示：注意算术-几何平均不等式或直接由 (t-1)^2≥0 得到 t+1/t≥2。
步骤 2/4
目标：证明序列单调递减
由 x_n ≥ √a 得 a/x_n^2 ≤ 1，则 x_{n+1}/x_n = (1/2)(1 + a/x_n^2) ≤ 1，故 x_{n+1} ≤ x_n。
公式：\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{a}{x_n^2}\right) \leq 1
提示：利用上一步得到的下界。
步骤 3/4
目标：证明极限存在并设为x
序列递减且有下界√a，由单调有界定理，极限存在，记 lim x_n = x，且 x ≥ √a > 0。
提示：单调递减有下界必收敛。
步骤 4/4
目标：对递推式取极限求解x
对递推式 x_{n+1} = (1/2)(x_n + a/x_n) 两边取极限，得 x = (1/2)(x + a/x)，整理得 x^2 = a，由 x>0 得 x = √a。
公式：x = \frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right) \Rightarrow x^2 = a \Rightarrow x = \sqrt{a}
提示：注意极限运算的合法性，因为 x_n 有正下界。

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