新讲 第13章 重积分 第16题

教材习题

📝 题目

例 16 把以下重积分化为单积分:

$$ I = {\int }_{{B}_{n}\left( a\right) }f\left( \sqrt{{x}_{1}^{2} + \cdots + {x}_{n}^{2}}\right) \mathrm{d}\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) , $$

这里设

$$ {B}_{n}\left( a\right) = \left\{ {\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \mid {x}_{1}^{2} + \cdots + {x}_{n}^{2} \leq {a}^{2}}\right\} , $$

并设 (一元) 函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {0,a}\right\rbrack$ 连续.

💡 答案解析

解 做球坐标变换, 我们得到

$$ I = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}f\left( r\right) \left| {{J}_{n}\left( {r,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta , $$

这里 $S$ 是满足以下条件的 $\theta = \left( {{\theta }_{1},\cdots ,{\theta }_{n - 1}}\right)$ 的集合:

$$ 0 \leq {\theta }_{1} \leq {2\pi }, $$

$$ - \frac{\pi }{2} \leq {\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{n - 1} \leq \frac{\pi }{2}; $$

而 ${J}_{n}\left( {r,\theta }\right)$ 是球坐标变换的雅可比行列式:

$$ {J}_{n}\left( {r,\theta }\right) = {r}^{n - 1}{\cos }^{n - 2}{\theta }_{n - 1}{\cos }^{n - 3}{\theta }_{n - 2}\cdots \cos {\theta }_{2}. $$

显然有

$$ {J}_{n}\left( {r,\theta }\right) = {r}^{n - 1}{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) . $$

由此可得

$$ I = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}f\left( r\right) \left| {{J}_{n}\left( {r,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$

$$ = {\int }_{0}^{a}f\left( r\right) {r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta . $$

下面,我们设法计算积分

$$ {\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta . $$

用等于 1 的式子

$$ n{\int }_{0}^{1}{r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r $$

与之相乘就得到:

$$ {\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$

$$ = n{\int }_{0}^{1}{r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r{\int }_{\mathrm{S}}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$

$$ = n{\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {r,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$

$$ = n{\int }_{{B}_{n}\left( 1\right) }\mathrm{d}x $$

$$ = n{V}_{n}\left( 1\right) , $$

这里 ${V}_{n}\left( 1\right)$ 是 $n$ 维单位球体的体积. 利用这些结果,我们得到:

$$ I = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}f\left( r\right) \left| {{J}_{n}\left( {r,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$

$$ = {\int }_{0}^{a}f\left( r\right) {r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$

$$ = n{V}_{n}\left( 1\right) {\int }_{0}^{a}f\left( r\right) {r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r. $$

在

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：进行球坐标变换
将重积分转化为球坐标下的累次积分，其中径向变量 r 从 0 到 a，角度变量 θ 在 S 上积分，雅可比行列式为 |J_n(r,θ)|。
公式：I = ∫_0^a dr ∫_S f(r) |J_n(r,θ)| dθ
提示：球坐标变换适用于球对称区域，注意角度变量的取值范围。
步骤 2/4
目标：分离径向和角度积分
利用雅可比行列式可分解为 r^{n-1} 与角度部分乘积的性质，将积分拆分为径向积分和角度积分。
公式：I = ∫_0^a f(r) r^{n-1} dr ∫_S |J_n(1,θ)| dθ
提示：注意 f(r) 只依赖于径向变量，因此可以提出径向积分。
步骤 3/4
目标：计算角度积分
通过乘以 n∫_0^1 r^{n-1} dr = 1 的技巧，将角度积分转化为 n 倍单位球体的体积。
公式：∫_S |J_n(1,θ)| dθ = n V_n(1)
提示：利用单位球体积公式 V_n(1) = π^{n/2} / Γ(n/2+1)。
步骤 4/4
目标：得到最终结果
将角度积分结果代入，得到重积分化为单积分的形式。
公式：I = n V_n(1) ∫_0^a f(r) r^{n-1} dr
提示：最终结果仅依赖于径向积分，体现了球对称性。

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