新讲 第14章 微分学的几何应用 第3题
📝 题目
例 3 设某段曲线 $\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( s\right)$ 上没有平直点,则这段曲线为平面曲线的充分必要条件是: 在这段曲线上挠率处处为 0 ,即 $\tau \equiv 0$ .
💡 答案解析
证明 先证条件的必要性. 设某段曲线 $\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( s\right)$ 在平面 $\Pi$ 上,则
$$ \mathbf{T} = \dot{\mathbf{r}}\;\text{ 和 }\;\mathbf{N} = \ddot{\mathbf{r}}/k\left( s\right) $$
都在这平面上,于是 $\mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}$ 是常向量 (垂直于平面 $\Pi$ 的单位向量),因而
$$ \left| \tau \right| = \parallel \dot{\mathbf{B}}\parallel = 0. $$
再来证明条件的充分性. 设挠率 $\tau \equiv 0$ ,则
$$ \dot{\mathbf{B}} = - \tau \mathbf{N} = \mathbf{0}. $$
因而 $\mathbf{B}$ 是一个常向量. 考察函数
$$ \varphi \left( s\right) = \left( {\mathbf{B},\mathbf{r}\left( s\right) }\right) , $$
因为
$$ \dot{\varphi }\left( s\right) = \left( {\mathbf{B},\dot{\mathbf{r}}\left( s\right) }\right) = 0, $$
所以
$$ \varphi \left( s\right) = \left( {\mathbf{B},\mathbf{r}\left( s\right) }\right) = C\text{ (常数). } $$
我们看到: 曲线 $\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( s\right)$ 在平面
$$ \mathbf{B} \cdot \mathbf{r} = C $$
之上.
推论 对于平面曲线 $\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( s\right)$ ,弗莱纳公式可以写成
$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{\mathbf{T}} = k\mathbf{N}, \\ \dot{\mathbf{N}} = - k\mathbf{T}. \end{array}\right. $$