新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第1题
📝 题目
例 1 设质量为 $m$ 的质点沿任意连续曲线 $\gamma$ 从空间位置 $A$ 移动到位置 $B$ . 试计算重力对这质点做的功 $W$ .
💡 答案解析
解 设在 ${OXYZ}$ 直角坐标系中, ${OZ}$ 轴是竖直向上的,则功 $W$ 可以表示为
$$ W = {\int }_{\gamma }\left( {-{mg}}\right) \mathrm{d}z = - {mg}{\int }_{\gamma }\mathrm{d}z. $$
根据定义容易得到
$$ {\int }_{\gamma }\mathrm{d}z = {z}_{B} - {z}_{A} $$
因而
$$ W = {mg}\left( {{z}_{A} - {z}_{B}}\right) . $$
我们看到: 重力场对质点所做的功, 只与起点与终点的位置有关, 与经过的路径无关.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立坐标系并写出重力做功的积分表达式
在OXYZ直角坐标系中，设OZ轴竖直向上，则重力沿Z轴负方向，大小为mg。质点沿曲线γ从A移动到B，重力做功W等于重力与位移点积的曲线积分，即W = ∫_γ F·dr。由于重力F = (0,0,-mg)，dr = (dx,dy,dz)，点积得-mg dz，因此W = ∫_γ (-mg) dz = -mg ∫_γ dz。
公式：W = ∫_γ (-mg) dz = -mg ∫_γ dz
提示：注意重力方向与坐标轴方向的关系，确定点积的正负号。
步骤 2/3
目标：计算曲线积分∫_γ dz
根据曲线积分的定义，∫_γ dz = z_B - z_A，其中z_A和z_B分别是起点A和终点B的z坐标。这是因为dz是z的微分，沿曲线积分等于终点与起点z坐标之差。
公式：∫_γ dz = z_B - z_A
提示：曲线积分∫_γ dz与路径无关，只取决于端点的z坐标。
步骤 3/3
目标：代入得到最终结果
将∫_γ dz = z_B - z_A代入W = -mg ∫_γ dz，得W = -mg(z_B - z_A) = mg(z_A - z_B)。
公式：W = mg(z_A - z_B)
提示：结果为正表示重力做正功，即质点下降时z_A > z_B。
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