新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第4题
📝 题目
例 4 试计算
$$ M = {\oint }_{c}\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$
这里 $C$ 同上两例中所述.
💡 答案解析
解 用参数表示进行计算可得
$$ M = {2\pi }. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解曲线C的几何意义
根据前两例，曲线C是中心在原点、半径为R的圆周，方向为逆时针。
提示：确认曲线参数：x=Rcosθ, y=Rsinθ, θ从0到2π。
步骤 2/3
目标：参数化曲线并代入积分
令x=Rcosθ, y=Rsinθ，则dx=-Rsinθ dθ, dy=Rcosθ dθ。代入积分表达式：M = ∮_C (x dy - y dx)/(x^2+y^2) = ∫_0^{2π} [Rcosθ·Rcosθ dθ - Rsinθ·(-Rsinθ dθ)]/(R^2) = ∫_0^{2π} (R^2 cos^2θ + R^2 sin^2θ)/R^2 dθ = ∫_0^{2π} dθ。
公式：x dy - y dx = R^2 dθ, x^2+y^2=R^2
提示：注意符号：dy=Rcosθ dθ, dx=-Rsinθ dθ，代入后分子化简为R^2 dθ。
步骤 3/3
目标：计算定积分
M = ∫_0^{2π} dθ = 2π。
公式：∫_0^{2π} dθ = 2π
提示：积分结果与半径R无关。
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