新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第4题
📝 题目
例 4 试计算积分
$$ I = \frac{1}{3}{\iint }_{S}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, $$
这里 $S$ 是球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ 的外侧.
💡 答案解析
解 球面 $S$ 的外法线单位向量表示为
$$ \mathbf{n} = \left( {\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{z}{a}}\right) . $$
因而
$$ I = \frac{1}{3}{\iint }_{S}\left( {x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma }\right) \mathrm{d}\sigma $$
$$ = \frac{1}{3}{\iint }_{S}\frac{{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}{a}\mathrm{\;d}\sigma $$
$$ = \frac{a}{3}{\iint }_{S}\mathrm{\;d}\sigma = \frac{4}{3}\pi {a}^{3}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出球面外法线单位向量
对于球面 x^2+y^2+z^2=a^2，其外法线方向与径向方向相同，单位向量为 n = (x/a, y/a, z/a)。
公式：n = (x/a, y/a, z/a)
提示：注意外侧法向指向球外，与梯度方向一致。
步骤 2/4
目标：将曲面积分转化为第一类曲面积分
利用第二类曲面积分与第一类曲面积分的关系：∬_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ∬_S (P cosα + Q cosβ + R cosγ) dσ，其中(cosα, cosβ, cosγ)是外法线方向余弦。代入P=x, Q=y, R=z，得I = (1/3)∬_S (x cosα + y cosβ + z cosγ) dσ。
公式：∬_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ∬_S (P cosα + Q cosβ + R cosγ) dσ
提示：注意方向余弦对应单位法向量的分量。
步骤 3/4
目标：代入法向量分量并化简被积函数
由于cosα = x/a, cosβ = y/a, cosγ = z/a，所以x cosα + y cosβ + z cosγ = x*(x/a) + y*(y/a) + z*(z/a) = (x^2+y^2+z^2)/a = a^2/a = a。因此被积函数为a。
公式：x cosα + y cosβ + z cosγ = (x^2+y^2+z^2)/a = a
提示：利用球面方程简化。
步骤 4/4
目标：计算曲面积分
I = (1/3) ∬_S a dσ = (a/3) ∬_S dσ。球面面积∬_S dσ = 4πa^2，所以I = (a/3) * 4πa^2 = (4/3)πa^3。
公式：∬_S dσ = 4πa^2
提示：球面面积公式。
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