新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第3题
📝 题目
例 3 试用例 2 中的公式计算椭圆面积.
💡 答案解析
解 椭圆的参数方程为
$$ x = a\cos t,\;y = b\sin t,\;0 \leq t \leq {2\pi }. $$
利用这参数表示计算第二型曲线积分得
$$ \sigma \left( \Omega \right) = \frac{1}{2}{\oint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }\left( {{ab}{\cos }^{2}t + {ab}{\sin }^{2}t}\right) \mathrm{d}t $$
$$ = {\pi ab}\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出椭圆参数方程
椭圆的参数方程为 x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π]
公式：x = a cos t, y = b sin t
提示：注意参数t的范围是0到2π，覆盖整个椭圆边界。
步骤 2/4
目标：应用第二型曲线积分公式计算面积
利用公式 σ(Ω) = 1/2 ∮_∂Ω x dy - y dx，将参数方程代入
公式：σ(Ω) = 1/2 ∮_∂Ω x dy - y dx
提示：该公式适用于光滑封闭曲线围成的区域面积。
步骤 3/4
目标：计算微分并代入积分
计算 dx = -a sin t dt, dy = b cos t dt，代入得 x dy - y dx = (a cos t)(b cos t dt) - (b sin t)(-a sin t dt) = ab(cos²t + sin²t) dt = ab dt
公式：x dy - y dx = ab dt
提示：注意三角恒等式 cos²t + sin²t = 1。
步骤 4/4
目标：积分计算
σ = 1/2 ∫_0^{2π} ab dt = 1/2 * ab * 2π = πab
公式：σ = πab
提示：积分结果为常数乘以区间长度。
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