新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第1题
📝 题目
例 1 设有微分形式
$$ \omega = f\mathrm{\;d}x + g\mathrm{\;d}y + h\mathrm{\;d}z, $$
$$ \theta = P\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z + Q\mathrm{\;d}z \land \mathrm{d}x + R\mathrm{\;d}x \land \mathrm{d}y, $$
试计算 $\omega \land \theta$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ \omega \land \theta = {fP}\mathrm{\;d}x \land \mathrm{d}y \land \mathrm{d}z + {gQ}\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z \land \mathrm{d}x $$
$$ + {hR}\mathrm{\;d}z \land \mathrm{d}x \land \mathrm{d}y $$
$$ = \left( {{fP} + {gQ} + {hR}}\right) \mathrm{d}x \land \mathrm{d}y \land \mathrm{d}z. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出ω∧θ的表达式
将ω和θ代入外积，注意外积的分配律和反交换性。ω∧θ = (f dx + g dy + h dz) ∧ (P dy∧dz + Q dz∧dx + R dx∧dy)。
公式：ω∧θ = f dx ∧ (P dy∧dz + Q dz∧dx + R dx∧dy) + g dy ∧ (P dy∧dz + Q dz∧dx + R dx∧dy) + h dz ∧ (P dy∧dz + Q dz∧dx + R dx∧dy)
提示：利用外积的线性性质展开
步骤 2/3
目标：逐项计算外积并化简
计算每一项：f dx ∧ (P dy∧dz) = fP dx∧dy∧dz；f dx ∧ (Q dz∧dx) = fQ dx∧dz∧dx = 0（因为dx∧dz∧dx = -dx∧dx∧dz = 0）；f dx ∧ (R dx∧dy) = fR dx∧dx∧dy = 0。类似地，g dy ∧ (P dy∧dz) = 0；g dy ∧ (Q dz∧dx) = gQ dy∧dz∧dx = gQ dx∧dy∧dz（因为dy∧dz∧dx = dx∧dy∧dz）；g dy ∧ (R dx∧dy) = 0。h dz ∧ (P dy∧dz) = 0；h dz ∧ (Q dz∧dx) = 0；h dz ∧ (R dx∧dy) = hR dz∧dx∧dy = hR dx∧dy∧dz（因为dz∧dx∧dy = dx∧dy∧dz）。
公式：dx∧dz∧dx = 0, dx∧dx∧dy = 0, dy∧dy∧dz = 0, dy∧dx∧dy = 0, dz∧dy∧dz = 0, dz∧dz∧dx = 0; dx∧dy∧dz = dy∧dz∧dx = dz∧dx∧dy
提示：注意外积的反交换性：dx∧dy = -dy∧dx，以及相同微分形式的外积为零
步骤 3/3
目标：合并结果
将非零项相加：fP dx∧dy∧dz + gQ dx∧dy∧dz + hR dx∧dy∧dz = (fP + gQ + hR) dx∧dy∧dz。
公式：ω∧θ = (fP + gQ + hR) dx∧dy∧dz
提示：最终结果是一个3-形式
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