新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第4题
📝 题目
例 4 设 ${f}^{j}\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n}}\right) ,j = 1,2,\cdots ,n$ ,是数值函数,则有
$$ \mathrm{d}{f}^{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{f}^{n} = \frac{\partial \left( {{f}^{1},\cdots ,{f}^{n}}\right) }{\partial \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n}}\right) }\mathrm{d}{x}^{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{n}. $$
💡 答案解析
证明 我们有
$$ \mathrm{d}{f}^{j} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial {f}^{j}}{\partial {x}^{i}}\mathrm{\;d}{x}^{i},\;j = 1,2,\cdots ,n. $$
利用
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出每个df^j的表达式
根据全微分公式，有 df^j = Σ_{i=1}^n (∂f^j/∂x^i) dx^i，其中j=1,2,...,n。
公式：df^j = Σ_{i=1}^n (∂f^j/∂x^i) dx^i
提示：注意求和指标i从1到n。
步骤 2/4
目标：将df^1∧...∧df^n展开为多重线性形式
将每个df^j代入外积：df^1∧...∧df^n = (Σ_{i1} (∂f^1/∂x^{i1}) dx^{i1}) ∧ ... ∧ (Σ_{in} (∂f^n/∂x^{in}) dx^{in})。利用外积的多重线性性，展开为所有组合的和。
公式：df^1∧...∧df^n = Σ_{i1,...,in} (∂f^1/∂x^{i1})...(∂f^n/∂x^{in}) dx^{i1}∧...∧dx^{in}
提示：注意外积是反对称的，因此只有指标互异时项才非零。
步骤 3/4
目标：利用外积的反对称性简化求和
由于dx^{i1}∧...∧dx^{in}在指标重复时为零，且交换两个指标会改变符号，因此求和只需考虑所有排列。实际上，dx^{i1}∧...∧dx^{in} = sgn(σ) dx^1∧...∧dx^n，其中σ是排列(i1,...,in)到(1,...,n)的置换。所以原式 = Σ_{σ∈S_n} (∂f^1/∂x^{σ(1)})...(∂f^n/∂x^{σ(n)}) sgn(σ) dx^1∧...∧dx^n。
公式：dx^{i1}∧...∧dx^{in} = sgn(σ) dx^1∧...∧dx^n
提示：排列的符号sgn(σ)由逆序数决定。
步骤 4/4
目标：识别为雅可比行列式
Σ_{σ∈S_n} sgn(σ) (∂f^1/∂x^{σ(1)})...(∂f^n/∂x^{σ(n)}) 正是雅可比行列式 det(∂f^j/∂x^i) = ∂(f^1,...,f^n)/∂(x^1,...,x^n)。因此原式 = [∂(f^1,...,f^n)/∂(x^1,...,x^n)] dx^1∧...∧dx^n。
公式：∂(f^1,...,f^n)/∂(x^1,...,x^n) = det(∂f^j/∂x^i)
提示：雅可比行列式是函数组对变量的偏导数矩阵的行列式。
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