新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第2题

解 原方程左端可按以下办法分组

$$ \left( {{7x}\mathrm{\;d}x - {5y}\mathrm{\;d}y}\right) + \left( {{3y}\mathrm{\;d}x + {3x}\mathrm{\;d}y}\right) . $$

容易求出上式的原函数

$$ \frac{7}{2}{x}^{2} - \frac{5}{2}{y}^{2} + {3xy} $$

原方程的通解为

$$ \frac{7}{2}{x}^{2} - \frac{5}{2}{y}^{2} + {3xy} = C. $$

以下一些公式当然是需要熟记的:

$$ \alpha \mathrm{d}u + \beta \mathrm{d}v = \mathrm{d}\left( {{\alpha u} + {\beta v}}\right) $$

$$ \left( {\alpha ,\beta \in \mathbb{R}}\right) \text{ ; } $$

$$ u\mathrm{\;d}v + v\mathrm{\;d}u = \mathrm{d}\left( {uv}\right) ; $$

$$ \frac{u\mathrm{\;d}v - v\mathrm{\;d}u}{{u}^{2}} = \mathrm{d}\left( \frac{v}{u}\right) ; $$

$$ \frac{u\mathrm{\;d}v - v\mathrm{\;d}u}{{u}^{2} + {v}^{2}} = \mathrm{d}\left( {\arctan \frac{v}{u}}\right) ; $$

$$ \frac{\mathrm{d}u}{u} = \mathrm{{dln}}\left| u\right| \;\left( {u \neq 0}\right) ; $$

$$ {\varphi }^{\prime }\left( u\right) \mathrm{d}u = \mathrm{d}\varphi \left( u\right) . $$

应该指出, 观察法求原函数虽然很省事, 但这方法依赖于技巧和熟练, 并不是每次都能成功的. 另外, 除了简单的情形而外, 不容易一眼就看出方程是否恰当的. 如果盲目去做, 可能会误入歧途. 因此,上节所介绍的恰当微分式的判别法和原函数的求法, 是必须牢固掌握的.