新讲 第18章 数项级数 第4题
📝 题目
例 4 判别以下级数是否收敛:
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{\sqrt{{4n} - 3}} $$
💡 答案解析
解 我们有
$$ \frac{1}{\sqrt{{4n} - 3}} \geq \frac{1}{\sqrt{4n}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}},\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
因为级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}}$ 发散,所以级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{\sqrt{{4n} - 3}} $$
也发散.
以下极限形式的比较判别法, 在实际应用中显得更为便利.
定理 2 设 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 和 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{b}_{n}}$ 是正项级数,并设以下极限存在:
$$ \lim \frac{{a}_{n}}{{b}_{n}} = \gamma \;\left( {0 \leq \gamma \leq + \infty }\right) , $$
则有:
(1) 如果级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{b}_{n}}$ 收敛, $\displaystyle{\gamma < + \infty}$ ,那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 也收敛;
(2)如果级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{b}_{n}}$ 发散, $\gamma > 0$ ,那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 也发散.
证明(1)对于取定的 $\varepsilon > 0$ (例如 $\varepsilon = 1$ ),存在 ${n}_{0} \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n \geq {n}_{0}$ ,就有
$$ \frac{{a}_{n}}{{b}_{n}} < \gamma + \varepsilon $$
也就是
$$ {a}_{n} < \left( {\gamma + \varepsilon }\right) {b}_{n},\;\forall n \geq {n}_{0}; $$
(2)对于取定的 $\varepsilon \in \left( {0,\gamma }\right)$ (例如 $\varepsilon = \frac{\gamma }{2}$ ),存在 ${n}_{0} \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n \geq {n}_{0}$ ,就有
$$ \frac{{a}_{n}}{{b}_{n}} > \gamma - \varepsilon , $$
也就是 $\;{a}_{n} > \left( {\gamma - \varepsilon }\right) {b}_{n},\;\forall n \geq {n}_{0}$ .