新讲 第18章 数项级数 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 用定义验证, 很容易看出: 级数

$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {\ln \left( {n + 1}\right) - \ln n}\right) $$

是发散的. 事实上, 我们有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\ln \left( {N + 1}\right) = + \infty . $$

用级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right)$ 与级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n}}$ 做比较,我们断定后一级数是发散的:

$$ \lim \frac{\frac{1}{n}}{\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) } = 1 > 0. $$

再以级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n}}$ 与级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{1}{n}}$ 做比较,我们又断定级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{1}{n}}$ 是发散的:

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 > 0. $$

我们知道,对正项的等比级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}}$ ,当 $r < 1$ 时是收敛的,当 $r$ $\geq 1$ 时是发散的. 在定理 1 中把比较的标准取成等比级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}}$ ,就

得到以下的柯西根式判别法.

柯西根式判别法 (普通形式) 设 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 是正项级数.

(1)如果存在 $r < 1$ 和 $N \in \mathbb{N}$ ,使得

$$ \sqrt[n]{{a}_{n}} < r,\;\forall n \geq N, $$

那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 收敛;

(2)如果对无穷多个 $n$ 有

$$ \sqrt[n]{{a}_{n}} \geq 1 $$

那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 发散.

💡 答案解析

证明(1)在所给的条件下有

$$ {a}_{n} \leq {r}^{n},\;\forall n \geq N. $$

(2) 由所给的条件可知 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 不能趋于 0 .

以下极限形式的判别法用起来更为便利:

柯西根式判别法 (极限形式) 设 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 是正项级数,并设存在极限

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\sqrt[n]{{a}_{n}} = q $$

则有

(1)如果 $q < 1$ ,那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 收敛；

(2)如果 $q > 1$ ,那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 发散.

证明(1)对于取定的 $\varepsilon \in \left( {0,1 - q}\right)$ (例如 $\varepsilon = \frac{1 - q}{2}$ ),存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得

$$ \sqrt[n]{{a}_{n}} < q + \varepsilon < 1,\;\forall n \geq N. $$

(2)对于取定的 $\varepsilon \in \left( {0,q - 1}\right)$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得

$$ \sqrt[n]{{a}_{n}} > q - \varepsilon > 1,\;\forall n \geq N. $$

注记 对于 $q = 1$ 的情形,上面的判别法未做任何一般性的判定. 请看下面的例子:

📋 详细解题步骤

步骤 1/9
目标：证明级数∑ln(1+1/n)发散
将级数通项改写为ln(n+1)-ln(n)，部分和S_N = ln(N+1)，当N→∞时趋于+∞，因此级数发散。
公式：∑_{n=1}^N ln(1+1/n) = ln(N+1)
提示：利用对数性质化简部分和
步骤 2/9
目标：通过比较判别法证明∑1/n发散
计算极限lim_{n→∞} (1/n)/ln(1+1/n) = 1 > 0，由于∑ln(1+1/n)发散，故∑1/n也发散。
公式：lim_{n→∞} (1/n)/ln(1+1/n) = 1
提示：使用等价无穷小ln(1+x)~x
步骤 3/9
目标：通过比较判别法证明∑sin(1/n)发散
计算极限lim_{n→∞} sin(1/n)/(1/n) = 1 > 0，由于∑1/n发散，故∑sin(1/n)也发散。
公式：lim_{n→∞} sin(1/n)/(1/n) = 1
提示：使用等价无穷小sin x~x
步骤 4/9
目标：介绍柯西根式判别法（普通形式）
正项级数∑a_n，若存在r<1和N，使得对所有n≥N有n√a_n < r，则级数收敛；若有无穷多个n使得n√a_n ≥ 1，则级数发散。
公式：n√a_n < r ⇒ a_n ≤ r^n；n√a_n ≥ 1 ⇒ a_n不趋于0
提示：比较对象为等比级数
步骤 5/9
目标：证明普通形式（收敛部分）
由n√a_n < r得a_n < r^n，而∑r^n收敛（r<1），由比较判别法知∑a_n收敛。
公式：a_n ≤ r^n
提示：注意不等式方向
步骤 6/9
目标：证明普通形式（发散部分）
由n√a_n ≥ 1得a_n ≥ 1，故通项不趋于0，级数发散。
公式：a_n ≥ 1
提示：级数收敛的必要条件
步骤 7/9
目标：介绍柯西根式判别法（极限形式）
设lim_{n→∞} n√a_n = q，则q<1时级数收敛，q>1时级数发散。
公式：lim_{n→∞} n√a_n = q
提示：q=1时无法判定
步骤 8/9
目标：证明极限形式（收敛部分）
取ε=(1-q)/2，存在N使得n≥N时n√a_n < q+ε < 1，由普通形式知收敛。
公式：n√a_n < q+ε < 1
提示：ε的选取保证小于1
步骤 9/9
目标：证明极限形式（发散部分）
取ε=(q-1)/2，存在N使得n≥N时n√a_n > q-ε > 1，由普通形式知发散。
公式：n√a_n > q-ε > 1
提示：ε的选取保证大于1

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