新讲 第20章 傅里叶级数 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 在区间 $\left( {-\pi ,\pi }\right)$ 上把函数

$$ f\left( x\right) = x $$

展开成傅里叶级数.

💡 答案解析

解 首先补充规定

$$ f\left( {-\pi }\right) = f\left( \pi \right) = 0, $$

然后再按周期 ${2\pi }$ 扩充函数 $f\left( x\right)$ 的定义到整个数轴上,我们把这样得到的周期为 ${2\pi }$ 的函数记为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ (参看图 20-2).

因为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ 是奇函数,所以它的傅里叶级数只含正弦部分. 按照欧拉-傅里叶公式计算系数得

$$ {b}_{k} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\widetilde{f}\left( x\right) \sin {kx}\mathrm{\;d}x $$

$$ = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }x\sin {kx}\mathrm{\;d}x $$

$$ = {\left( -1\right) }^{k + 1}\frac{2}{k},\;k = 1,2,\cdots . $$

\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/117.jpg} \end{center} \hspace*{3em}

图 20-2

根据 3. $\mathrm{c}$ 或 $3.\mathrm{\;d}$ 中的判别法,可以断定函数 $\widetilde{f}$ 的傅里叶级数在任何一点 ${x}_{0}$ 处收敛于

$$ \frac{\widetilde{f}\left( {{x}_{0} + 0}\right) + \widetilde{f}\left( {{x}_{0} - 0}\right) }{2} = \widetilde{f}\left( {x}_{0}\right) . $$

我们得到:

$$ \widetilde{f}\left( x\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{k + 1}\frac{\sin {kx}}{k},\;\forall x \in \mathbb{R}; $$

$$ x = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{k + 1}\frac{\sin {kx}}{k},\;\forall x \in \left( {-\pi ,\pi }\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：补充函数在端点处的定义，并周期延拓
首先补充规定 f(-π) = f(π) = 0，然后将函数按周期 2π 扩充到整个数轴，得到周期函数 ˜f(x)。
提示：周期延拓时，端点值取左右极限的平均值，这里为0。
步骤 2/5
目标：判断函数奇偶性，确定傅里叶级数形式
由于 ˜f(x) 是奇函数，其傅里叶级数只含正弦项，余弦项系数为零。
提示：奇函数的傅里叶级数只有正弦项。
步骤 3/5
目标：计算傅里叶系数 b_k
利用欧拉-傅里叶公式计算正弦系数：b_k = (2/π) ∫_0^π ˜f(x) sin(kx) dx = (2/π) ∫_0^π x sin(kx) dx。
公式：b_k = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \sin(kx) \, dx
提示：积分时使用分部积分法。
步骤 4/5
目标：计算积分结果
计算 ∫_0^π x sin(kx) dx = [(-x cos(kx))/k + (sin(kx))/k^2]_0^π = (-π cos(kπ))/k = (-π (-1)^k)/k = π (-1)^{k+1}/k，因此 b_k = (2/π) * π (-1)^{k+1}/k = (-1)^{k+1} * 2/k。
公式：b_k = (-1)^{k+1} \frac{2}{k}
提示：注意 cos(kπ) = (-1)^k。
步骤 5/5
目标：应用收敛定理，写出傅里叶级数展开式
根据狄利克雷判别法，˜f(x) 的傅里叶级数在每点收敛到 ˜f(x) 本身（因为 ˜f 在间断点处已补充定义使得左右极限平均值等于函数值）。因此 ˜f(x) = 2 ∑_{k=1}^∞ (-1)^{k+1} sin(kx)/k，对所有 x ∈ ℝ 成立。特别地，在 (-π, π) 内，˜f(x)=x，所以 x = 2 ∑_{k=1}^∞ (-1)^{k+1} sin(kx)/k。
公式：x = 2 \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{\sin(kx)}{k}, \quad x \in (-\pi, \pi)
提示：注意端点处级数收敛到0，与补充定义一致。

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