新讲 第21章 含参变元的积分 第4题
📝 题目
解 我们有:
(1) $$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{0}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{a}^{b}{\mathrm{e}}^{-{xy}}\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{xy}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}y}{y} = \ln \frac{b}{a}. $$
这里交换积分的次序是合理的, 因为积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{xy}}\mathrm{\;d}x $$
对 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 一致收敛 (可用魏尔斯特拉斯判别法判定).
(2) $$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\cos {ax} - \cos {bx}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{0}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{a}^{b}\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}x. $$
这里交换积分次序是允许的, 因为积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}x \tag{3.2} $$
对 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 一致收敛 (可用狄利克雷判别法判定). 在 (3.2) 式中做变元替换 $x = \frac{u}{y}$ ,就得到
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin u}{u}\mathrm{\;d}u = \frac{\pi }{2}. $$
我们最后求得
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\cos {ax} - \cos {bx}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}\left( {b - a}\right) . $$
💡 答案解析
解 我们有:
(1) $$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{0}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{a}^{b}{\mathrm{e}}^{-{xy}}\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{xy}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}y}{y} = \ln \frac{b}{a}. $$
这里交换积分的次序是合理的, 因为积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{xy}}\mathrm{\;d}x $$
对 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 一致收敛 (可用魏尔斯特拉斯判别法判定).
(2) $$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\cos {ax} - \cos {bx}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{0}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{a}^{b}\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}x. $$
这里交换积分次序是允许的, 因为积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}x \tag{3.2} $$
对 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 一致收敛 (可用狄利克雷判别法判定). 在 (3.2) 式中做变元替换 $x = \frac{u}{y}$ ,就得到
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {xy}}{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin u}{u}\mathrm{\;d}u = \frac{\pi }{2}. $$
我们最后求得
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\cos {ax} - \cos {bx}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}\left( {b - a}\right) . $$