新讲 第21章 含参变元的积分 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 试证明

(1) $\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u$ ,

(2) $\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{1}\frac{{u}^{x - 1} + {u}^{y - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u$ .

💡 答案解析

证明 在下面的积分中做变元替换

$$ t = \frac{u}{1 + u} = 1 - \frac{1}{1 + u} $$

就得到

$$ {\int }_{0}^{1}{t}^{x - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t $$

$$ = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u $$

$$ = {\int }_{0}^{1}\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u + {\int }_{1}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u. $$

在最后一个积分中做变元替换

$$ u = \frac{1}{v} $$

又得到

$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u = {\int }_{0}^{1}\frac{{v}^{y - 1}}{{\left( 1 + v\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}v. $$

这样, 我们证明了

$$ \mathrm{B}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u $$

$$ = {\int }_{0}^{1}\frac{{u}^{x - 1} + {u}^{y - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：证明B(x,y) = ∫_0^∞ u^{x-1}/(1+u)^{x+y} du
在B(x,y) = ∫_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt中，做变量替换t = u/(1+u)，则dt = du/(1+u)^2，且当t=0时u=0，t=1时u→∞。代入得B(x,y) = ∫_0^∞ (u/(1+u))^{x-1} (1/(1+u))^{y-1} du/(1+u)^2 = ∫_0^∞ u^{x-1}/(1+u)^{x+y} du。
公式：t = u/(1+u), dt = du/(1+u)^2
提示：注意积分限变换和指数运算
步骤 2/4
目标：将积分拆分为两部分
将∫_0^∞ u^{x-1}/(1+u)^{x+y} du拆分为∫_0^1 u^{x-1}/(1+u)^{x+y} du + ∫_1^∞ u^{x-1}/(1+u)^{x+y} du。
提示：拆分点选在u=1
步骤 3/4
目标：处理第二个积分
在∫_1^∞ u^{x-1}/(1+u)^{x+y} du中做变量替换u=1/v，则du = -dv/v^2，且当u=1时v=1，u→∞时v→0。代入得∫_1^∞ u^{x-1}/(1+u)^{x+y} du = ∫_1^0 (1/v)^{x-1}/(1+1/v)^{x+y} (-dv/v^2) = ∫_0^1 v^{y-1}/(1+v)^{x+y} dv。
公式：u = 1/v, du = -dv/v^2
提示：注意积分限反转和符号
步骤 4/4
目标：合并得到第二个表达式
将两部分相加：∫_0^1 u^{x-1}/(1+u)^{x+y} du + ∫_0^1 v^{y-1}/(1+v)^{x+y} dv = ∫_0^1 (u^{x-1}+u^{y-1})/(1+u)^{x+y} du，即B(x,y) = ∫_0^1 (u^{x-1}+u^{y-1})/(1+u)^{x+y} du。
提示：将v重命名为u

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