新讲 第2章 极 限 第12题

教材习题

📝 题目

例 12 设 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列,记 $$ {\beta }_{n} = \frac{{\alpha }_{1} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n},\;n = 1,2,\cdots , $$ 则 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 也是无穷小序列. 换句话说,以无穷小序列前 $n$ 项的算术平均数作为通项的序列, 也是一个无穷小序列.

💡 答案解析

证明 对任意的 $\varepsilon > 0$ ,存在 $m \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n > m$ ,就有 $$ \left| {\alpha }_{n}\right| < \varepsilon /2\text{ . } $$ 对这取定的 $m$ ,又可取充分大的 $p \in \mathbb{N}$ ,使得 $$ \frac{\left| {a}_{1}\right| + \cdots + \left| {a}_{m}\right| }{p} < \frac{\varepsilon }{2}. $$ 记 $\displaystyle{N = \max \{ m,p\}}$ ,则当 $n > N$ 时,就有 $$ \left| {\beta }_{n}\right| \leq \frac{\left| {\alpha }_{1}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{m}\right| }{n} + \frac{\left| {\alpha }_{m + 1}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{n}\right| }{n} $$ $$ \leq \frac{\left| {\alpha }_{1}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{m}\right| }{p} + \frac{\left| {\alpha }_{m + 1}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{n}\right| }{n - m} $$ $$ < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\left( {n - m}\right) \frac{\varepsilon }{2}}{n - m} = \varepsilon . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：明确要证明的结论：{β_n}是无穷小序列，即对任意ε>0，存在N，当n>N时|β_n|<ε。
根据无穷小序列的定义，需要证明对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，有|β_n|<ε。
提示：注意β_n是前n项α_k的算术平均。
步骤 2/6
目标：利用{α_n}是无穷小序列，找到m使得当n>m时|α_n|<ε/2。
因为{α_n}是无穷小序列，对ε/2>0，存在正整数m，使得当n>m时，|α_n|<ε/2。
公式：∀ε>0, ∃m∈ℕ, ∀n>m: |α_n|<ε/2
提示：这里取ε/2是为了后续放缩。
步骤 3/6
目标：对固定的m，取p使得前m项绝对值之和除以p小于ε/2。
由于前m项是固定的有限项，其绝对值之和是常数，因此存在充分大的正整数p，使得(|α_1|+...+|α_m|)/p < ε/2。
公式：∃p∈ℕ: (|α_1|+...+|α_m|)/p < ε/2
提示：p可以取大于2(|α_1|+...+|α_m|)/ε的整数。
步骤 4/6
目标：令N=max{m,p}，当n>N时，将|β_n|分成两部分放缩。
令N=max{m,p}，当n>N时，有n>m且n>p。将|β_n|写为：|β_n| ≤ (|α_1|+...+|α_m|)/n + (|α_{m+1}|+...+|α_n|)/n。
公式：|β_n| ≤ (∑_{k=1}^m |α_k|)/n + (∑_{k=m+1}^n |α_k|)/n
提示：利用绝对值不等式和三角不等式。
步骤 5/6
目标：分别放缩两部分：第一部分用p，第二部分用n-m。
因为n>p，所以(|α_1|+...+|α_m|)/n ≤ (|α_1|+...+|α_m|)/p < ε/2。对于第二部分，当k>m时|α_k|<ε/2，所以(|α_{m+1}|+...+|α_n|)/n ≤ (n-m)*(ε/2)/n < (n-m)*(ε/2)/(n-m) = ε/2。
公式：第一部分: (∑_{k=1}^m |α_k|)/n ≤ (∑_{k=1}^m |α_k|)/p < ε/2; 第二部分: (∑_{k=m+1}^n |α_k|)/n ≤ (n-m)*(ε/2)/n < ε/2
提示：注意n>m，所以n-m>0，且分母n>n-m。
步骤 6/6
目标：合并得到|β_n|<ε，完成证明。
因此，当n>N时，|β_n| < ε/2 + ε/2 = ε。由ε的任意性，{β_n}是无穷小序列。
公式：|β_n| < ε
提示：证明完成，注意N的取法依赖于ε。

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