新讲 第3章 连续函数 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 设函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续并且满足 $f\left( [a,b]\right) \subset [a,b]$ （这就是说: $f\left( x\right) \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$）. 试证明存在 $c \in$ $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $$ f\left( c\right) = c, $$ (这样的点 $c$ 称为 $f$ 的一个不动点. 本例说明:把 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 映入 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 之中的连续函数必定有不动点. 这是著名的布劳威尔 (Brouwer) 不动点定理的一个特殊情形. )

💡 答案解析

证明 记 $g\left( x\right) = f\left( x\right) - x$ ,则函数 $g\left( x\right)$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续. 由条件 $$ a \leq f\left( x\right) \leq b,\;\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack , $$ 可知 $$ f\left( a\right) \geq a,\;f\left( b\right) \leq b, $$ 即 $$ g\left( a\right) \geq 0,\;g\left( b\right) \leq 0. $$ 如果 $g\left( a\right) = 0$ （或者 $g\left( b\right) = 0$ ）,那么 $c = a$ （或者 $c = b$ ） 就满足要求: $$ g\left( c\right) = 0,\;f\left( c\right) = c. $$ 如果 $g\left( a\right) \gt 0 \gt g\left( b\right)$ ,那么 (根据定理 1) 存在 $c \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $$ g\left( c\right) = 0,\;f\left( c\right) = c. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：构造辅助函数
定义函数 g(x) = f(x) - x，则 g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续。
公式：g(x) = f(x) - x
提示：利用连续函数的性质，将不动点问题转化为零点问题。
步骤 2/3
目标：利用条件推导端点函数值符号
由条件 f([a,b]) ⊆ [a,b] 可知，对任意 x∈[a,b] 有 a ≤ f(x) ≤ b。特别地，f(a) ≥ a 且 f(b) ≤ b，因此 g(a) = f(a)-a ≥ 0，g(b) = f(b)-b ≤ 0。
公式：g(a) ≥ 0, g(b) ≤ 0
提示：注意端点处的函数值可能恰好等于0。
步骤 3/3
目标：分情况讨论
若 g(a)=0 或 g(b)=0，则 c=a 或 c=b 即为不动点。否则，g(a)>0>g(b)，由连续函数的介值定理（零点定理），存在 c∈(a,b) 使得 g(c)=0，即 f(c)=c。
公式：零点定理：若连续函数在区间端点异号，则存在零点。
提示：零点定理是连续函数的重要性质。

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