新讲 第4章 导 数 第2题
📝 题目
例 2 设 $m \in \mathbb{N}$ ,试求函数 $f\left( x\right) = {x}^{m}$ 的导数.
💡 答案解析
解 我们有
$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{{\left( x + h\right) }^{m} - {x}^{m}}{h} $$
$$ = m{x}^{m - 1} + \frac{m\left( {m - 1}\right) }{2}{x}^{m - 2}h + \cdots + {h}^{m - 1}, $$
因而
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = m{x}^{m - 1}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出导数的定义式
根据导数的定义，函数f(x)在点x处的导数为极限：f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h。代入f(x)=x^m，得到差商为[(x+h)^m - x^m] / h。
公式：f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
提示：注意h是自变量增量，不能为零。
步骤 2/3
目标：展开(x+h)^m并化简差商
利用二项式定理展开(x+h)^m = x^m + m x^{m-1} h + [m(m-1)/2] x^{m-2} h^2 + ... + h^m。减去x^m后，每一项都含有h，除以h得到：m x^{m-1} + [m(m-1)/2] x^{m-2} h + ... + h^{m-1}。
公式：(x+h)^m = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} x^{m-k} h^k
提示：注意二项式系数C(m,k)=m!/(k!(m-k)!)；展开后第一项x^m与分子中的-x^m抵消。
步骤 3/3
目标：取极限得到导数
当h→0时，除第一项m x^{m-1}外，其余各项均含有h的正整数次幂，因此极限为m x^{m-1}。所以f'(x)=m x^{m-1}。
公式：\lim_{h \to 0} \left( m x^{m-1} + \frac{m(m-1)}{2} x^{m-2} h + \cdots + h^{m-1} \right) = m x^{m-1}
提示：极限过程中，只有常数项保留，含h的项都趋于0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。