新讲 第4章 导 数 第8题
📝 题目
例 8 求函数 $f\left( x\right) = \ln x$ 和 $g\left( x\right) = {\log }_{a}x$ 的导数 $\left( {x > 0}\right)$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{\ln \left( {x + h}\right) - \ln x}{h} $$
$$ = \frac{\ln \left( {1 + h/x}\right) }{h} $$
$$ = \frac{1}{x}\frac{\ln \left( {1 + h/x}\right) }{h/x}, $$
因而
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} $$
$$ = \frac{1}{x}\text{ . } $$
同样可证
$$ {g}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{x\ln a} $$
$$ = \frac{1}{x}{\log }_{a}\mathrm{e}. $$
通过以上各例, 我们求出一些重要的初等函数的导数. 所得结果列表如下:
导 数 表
\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline 函数 & 导 数 & 备注 \\ \cline{1-3} $C$ & 0 & \phantom{X} \\ \cline{1-3} ${x}^{m}$ & $m{x}^{m - 1}$ & $m$ 是自然数 \\ \cline{1-3} ${x}^{-m}$ & $- m{x}^{-m - 1}$ & $m$ 是自然数, $x \neq 0$ \\ \cline{1-3} ${x}^{p}$ & $\mu {x}^{\mu - 1}$ & $\mu$ 是实数, $x > 0$ \\ \cline{1-3} $\sin x$ & $\cos x$ & \phantom{X} \\ \cline{1-3} $\cos x$ & $- \sin x$ & \phantom{X} \\ \cline{1-3} ${\mathrm{e}}^{x}$ & ${\mathrm{e}}^{x}$ & \phantom{X} \\ \cline{1-3} ${a}^{x}$ & ${a}^{x}\ln a$ & $a > 0,a \neq 1$ \\ \cline{1-3} $\ln x$ & $1/x$ & $x > 0$ \\ \cline{1-3} $\log a \approx x$ & $\frac{1}{x}{\log }_{a}\mathrm{e}$ & $a > 0,x > 0,a \neq 1$ \\ \cline{1-3} \hline \end{tabular} } \end{center}
利用关于极限运算已有的结果, 立即可得以下简单的法则.
定理 1 设函数 $f$ 和 $g$ 在 $x$ 点可导, $c \in \mathbb{R}$ ,则 $f + g$ 和 ${cf}$ 也在 $x$ 点可导,并且
$$ {\left( f\left( x\right) + g\left( x\right) \right) }^{\prime } = {f}^{\prime }\left( x\right) + {g}^{\prime }\left( x\right) ; $$
$$ {\left( cf\left( x\right) \right) }^{\prime } = c{f}^{\prime }\left( x\right) . $$
这样, 对于上表中各函数经过有限次相加或乘以常数的运算所得的一切函数, 我们也能求出其导数. 例如, 对于多项式函数
$$ f\left( x\right) = {a}_{0}{x}^{m} + {a}_{1}{x}^{m - 1} + \cdots + {a}_{m}, $$
我们求得:
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = m{a}_{0}{x}^{m - 1} + \left( {m - 1}\right) {a}_{1}{x}^{m - 2} + \cdots + {a}_{m - 1}. $$
在下一节中, 利用那里证明的更多的求导法则, 我们能够求出更多的函数的导数.