新讲 第2章 极 限 第1题
📝 题目
例 1 求证 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty}}\frac{n}{n + 1} = 1}$ .
💡 答案解析
证明 对任意的 $\varepsilon > 0$ ,要使 $$ \left| {\frac{n}{n + 1} - 1}\right| = \frac{1}{n + 1} < \varepsilon , $$ 只需 $$ n > \frac{1}{\varepsilon } - 1\text{ . } $$ 取大于 $\frac{1}{\varepsilon } - 1$ 的任意自然数作为 $N$ (例如取 $N = \left\lbrack {1/\varepsilon }\right\rbrack + 1$ ),则当 $n > N$ 时,就有 $$ \left| {\frac{n}{n + 1} - 1}\right| = \frac{1}{n + 1} < \varepsilon $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立不等式
对任意ε>0，要使|n/(n+1)-1|<ε，计算差值得1/(n+1)<ε。
公式：|n/(n+1)-1| = 1/(n+1)
提示：化简绝对值表达式
步骤 2/3
目标：解出n的范围
由1/(n+1)<ε得n+1>1/ε，即n>1/ε-1。
公式：n > 1/ε - 1
提示：注意n是自然数
步骤 3/3
目标：选取N
取N=[1/ε]+1，则当n>N时，n>1/ε-1成立，从而不等式成立。
公式：N = [1/ε] + 1
提示：取整加1保证N是自然数且大于1/ε-1
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