新讲 第4章 导 数 第3题
📝 题目
例 3 求函数 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 的导数.
💡 答案解析
解 我们有
$$ {\left( {\mathrm{e}}^{-x}\right) }^{\prime } = {\left( \frac{1}{{\mathrm{e}}^{x}}\right) }^{\prime } = - \frac{{\mathrm{e}}^{x}}{{\left( {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{2}} = - {\mathrm{e}}^{-x}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将函数转化为分式形式
将 e^{-x} 写为 1/e^x，即 (e^{-x}) = 1/e^x。
公式：e^{-x} = 1/e^x
提示：利用负指数定义转换。
步骤 2/3
目标：应用商的导数法则
对 1/e^x 求导，使用公式 (u/v)' = (u'v - uv')/v^2，其中 u=1，v=e^x。
公式：(1/e^x)' = (0 * e^x - 1 * e^x) / (e^x)^2 = -e^x / (e^x)^2
提示：注意常数1的导数为0。
步骤 3/3
目标：化简结果
化简 -e^x/(e^x)^2 = -1/e^x = -e^{-x}。
公式：-e^x/(e^x)^2 = -1/e^x = -e^{-x}
提示：约去公因子 e^x。
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