新讲 第4章 导 数 第11题
📝 题目
例 11 求 ${\left( {\mathrm{e}}^{\sin \left( {{x}^{2} + c}\right) }\right) }^{\prime }$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ {\left( {\mathrm{e}}^{\sin \left( {{x}^{2} + c}\right) }\right) }^{\prime } = {\mathrm{e}}^{\sin \left( {{x}^{2} + c}\right) }{\left( \sin \left( {x}^{2} + c\right) \right) }^{\prime } $$
$$ = {\mathrm{e}}^{\sin \left( {{x}^{2} + c}\right) }\cos \left( {{x}^{2} + c}\right) {\left( {x}^{2} + c\right) }^{\prime } $$
$$ = {2x}\cos \left( {{x}^{2} + c}\right) {\mathrm{e}}^{\sin \left( {{x}^{2} + c}\right) }. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用链式法则，先对外层指数函数求导
设 u = sin(x^2 + c)，则原函数为 e^u，导数为 e^u * u'。
公式：(e^u)' = e^u * u'
提示：外层函数是指数函数，内层是正弦函数。
步骤 2/4
目标：对中间层正弦函数求导
u = sin(v)，其中 v = x^2 + c，则 u' = cos(v) * v'。
公式：(sin v)' = cos v * v'
提示：注意正弦函数的导数是余弦，并乘以内层导数。
步骤 3/4
目标：对内层多项式函数求导
v = x^2 + c，则 v' = 2x。
公式：(x^2 + c)' = 2x
提示：常数c的导数为0。
步骤 4/4
目标：合并所有导数结果
将各步结果相乘：e^(sin(x^2+c)) * cos(x^2+c) * 2x。
公式：2x cos(x^2+c) e^(sin(x^2+c))
提示：最终结果按幂次顺序书写。
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