新讲 第4章 导 数 第13题
📝 题目
例 13 求 ${\left( \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\right) }^{\prime }$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ {\left( \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\right) }^{\prime } = \frac{1}{2\sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}}{\left( {x}^{2} \pm {a}^{2}\right) }^{\prime } $$
$$ = \frac{x}{\sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用链式法则求导
将函数视为复合函数：外层函数为平方根，内层函数为 x^2 ± a^2。根据链式法则，导数等于外层导数乘以内层导数。
公式：(√u)' = 1/(2√u) * u'
提示：注意内层函数是 x^2 ± a^2，其中 a 是常数。
步骤 2/3
目标：计算内层函数的导数
内层函数 u = x^2 ± a^2，其导数为 u' = 2x（因为常数项导数为0）。
公式：(x^2 ± a^2)' = 2x
提示：a^2 是常数，导数为0。
步骤 3/3
目标：代入并化简
将 u' = 2x 代入链式法则公式：1/(2√(x^2 ± a^2)) * 2x = x/√(x^2 ± a^2)。
公式：1/(2√(x^2 ± a^2)) * 2x = x/√(x^2 ± a^2)
提示：约去公因子2。
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