新讲 第4章 导 数 第15题

教材习题

📝 题目

例 15 试求幂-指数式 ${\left( u\left( x\right) \right) }^{v\left( x\right) }$ 的导数,这里 $u\left( x\right) > 0$ ,函数 $u$ 和 $v$ 在 $x$ 点可导.

💡 答案解析

解 我们有

$$ u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) } = {\mathrm{e}}^{v\left( x\right) \ln u\left( x\right) }, $$

因而

$$ {\left( u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) }\right) }^{\prime } = {\left( {\mathrm{e}}^{v\left( x\right) \ln u\left( x\right) }\right) }^{\prime } $$

$$ = {\mathrm{e}}^{v\left( x\right) \ln u\left( x\right) }{\left( v\left( x\right) \ln u\left( x\right) \right) }^{\prime } $$

$$ = {\mathrm{e}}^{v\left( x\right) \ln u\left( x\right) }\left( {{v}^{\prime }\left( x\right) \ln u\left( x\right) + v\left( x\right) \frac{{u}^{\prime }\left( x\right) }{u\left( x\right) }}\right) $$

$$ = u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) }\left( {{v}^{\prime }\left( x\right) \ln u\left( x\right) + v\left( x\right) \frac{{u}^{\prime }\left( x\right) }{u\left( x\right) }}\right) $$

$$ = u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) }\left( {\ln u\left( x\right) }\right) {v}^{\prime }\left( x\right) + v\left( x\right) u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) - 1}{u}^{\prime }\left( x\right) . $$

我们看到: 幂-指数式的导数为两项之和, 这两项分别相当于把该式当作指数函数和幂函数求导所得的结果.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将幂-指数式转化为指数形式
由于 u(x) > 0，利用恒等式 a^b = e^{b ln a}，将 u(x)^{v(x)} 写成 e^{v(x) ln u(x)}。
公式：u(x)^{v(x)} = e^{v(x) \ln u(x)}
提示：注意底数必须大于0，否则对数无定义。
步骤 2/5
目标：对指数形式求导
对 e^{v(x) ln u(x)} 求导，利用链式法则：先对外函数 e^t 求导得 e^t，再乘以内函数 t = v(x) ln u(x) 的导数。
公式：(e^{t})' = e^{t} t'
提示：不要忘记链式法则。
步骤 3/5
目标：计算内函数的导数
内函数 t = v(x) ln u(x) 是两个函数的乘积，利用乘法法则求导：t' = v'(x) ln u(x) + v(x) * (1/u(x)) * u'(x)。
公式：(v \ln u)' = v' \ln u + v \cdot \frac{u'}{u}
提示：注意 ln u 的导数是 u'/u。
步骤 4/5
目标：代回原式并整理
将内函数的导数代入，得到 e^{v(x) ln u(x)} [v'(x) ln u(x) + v(x) u'(x)/u(x)]，再将 e^{v(x) ln u(x)} 换回 u(x)^{v(x)}。
公式：u(x)^{v(x)} \left( v'(x) \ln u(x) + \frac{v(x) u'(x)}{u(x)} \right)
提示：这是最终结果的一种形式。
步骤 5/5
目标：将结果写成两项之和
将括号展开，得到两项：第一项 u(x)^{v(x)} ln u(x) v'(x)，第二项 v(x) u(x)^{v(x)-1} u'(x)。
公式：u^v \ln u \cdot v' + v u^{v-1} u'
提示：第一项相当于把 u^v 视为指数函数（底数固定）求导，第二项相当于把 u^v 视为幂函数（指数固定）求导。

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