新讲 第4章 导 数 第18题
📝 题目
例 18 求 $\psi \left( y\right) = \arccos y$ 的导数.
💡 答案解析
解 函数 $\psi \left( y\right) = \arccos y$ 是函数 $\varphi \left( x\right) = \cos x$ 的反函数,因而
$$ {\psi }^{\prime }\left( y\right) = \frac{1}{{\varphi }^{\prime }\left( {\psi \left( y\right) }\right) } = \frac{1}{-\sin \left( {\arccos y}\right) } $$
$$ = - \frac{1}{\sqrt{1 - {y}^{2}}}\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别反函数关系
函数 ψ(y)=arccos y 是 φ(x)=cos x 的反函数，因此可以使用反函数求导法则。
公式：ψ'(y) = 1 / φ'(ψ(y))
提示：确认反函数关系：arccos y 是 cos x 在 [0,π] 上的反函数。
步骤 2/3
目标：应用反函数求导公式
代入 φ'(x) = -sin x，且 x = ψ(y) = arccos y，得到 ψ'(y) = 1 / (-sin(arccos y))。
公式：ψ'(y) = 1 / (-sin(arccos y))
提示：注意 φ'(x) = -sin x，不要忘记负号。
步骤 3/3
目标：化简三角函数表达式
利用恒等式 sin(arccos y) = √(1 - y²)，代入得 ψ'(y) = -1/√(1 - y²)。
公式：sin(arccos y) = √(1 - y²)
提示：arccos y 的值域为 [0,π]，在此区间内 sin 非负，故取正根。
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