新讲 第4章 导 数 第23题
📝 题目
例 23 设 $y = {x}^{a}$ ,求 ${y}^{\left( n\right) }$ .
💡 答案解析
解
$$ {y}^{\prime } = \alpha {x}^{\alpha - 1}, $$
$$ {y}^{\prime \prime } = \alpha \left( {\alpha - 1}\right) {x}^{\alpha - 2}, $$
...............................
$$ {y}^{\left( n\right) } = \alpha \left( {\alpha - 1}\right) \cdots \left( {\alpha - n + 1}\right) {x}^{\alpha - n}. $$
如果 $\alpha = m \in \mathbb{N}$ ,那么 $n > m$ 时就有 ${y}^{\left( n\right) } = 0$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶导数
对 y = x^α 求导，得到 y' = α x^(α-1)。
公式：y' = α x^(α-1)
提示：使用幂函数求导公式：d/dx (x^α) = α x^(α-1)。
步骤 2/4
目标：求二阶导数
对 y' 再次求导，得到 y'' = α(α-1) x^(α-2)。
公式：y'' = α(α-1) x^(α-2)
提示：再次应用幂函数求导公式，注意指数递减。
步骤 3/4
目标：归纳n阶导数形式
观察一阶和二阶导数，归纳出n阶导数的形式：y^(n) = α(α-1)...(α-n+1) x^(α-n)。
公式：y^(n) = α(α-1)...(α-n+1) x^(α-n)
提示：每求一次导，指数减1，并乘上当前指数。
步骤 4/4
目标：讨论特殊情况
若α = m ∈ N，当n > m时，因子中会出现0，因此y^(n) = 0。
公式：当n > m时，y^(n) = 0
提示：注意自然数指数时，高阶导数会变为零。
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