新讲 第4章 导 数 第1题
📝 题目
例 1 设函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上有二阶导数. 如果
$$ {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$
那么
$$ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}x + {C}_{1}. $$
💡 答案解析
证明 因为
$$ {\left( {f}^{\prime }\right) }^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$
所以
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) \equiv {C}_{0}\text{ (常数). } $$
记
$$ \varphi \left( x\right) = f\left( x\right) - {C}_{0}x, $$
则有
$$ {\varphi }^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) - {C}_{0} = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$
因而
$$ \varphi \left( x\right) \equiv {C}_{1}\text{ (常数). } $$
即
$$ f\left( x\right) - {C}_{0}x \equiv {C}_{1}. $$
由此得到
$$ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}x + {C}_{1}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由二阶导数为零推出导数为常数
已知 f''(x)=0 对所有实数 x 成立，根据导数的定义，f'(x) 的导数为零，因此 f'(x) 是常数函数，记作 C0。
公式：f'(x) ≡ C0
提示：常数的导数为零，反之导数为零的函数是常数。
步骤 2/3
目标：构造辅助函数并证明其为常数
令 φ(x)=f(x)-C0 x，求导得 φ'(x)=f'(x)-C0=0，因此 φ(x) 是常数，记作 C1。
公式：φ'(x)=0 ⇒ φ(x)≡C1
提示：通过构造差函数将问题转化为导数为零的情形。
步骤 3/3
目标：得出 f(x) 的表达式
由 φ(x)=C1 得 f(x)-C0 x=C1，即 f(x)=C0 x+C1。
公式：f(x)=C0 x+C1
提示：最终结果是一次函数形式。
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