新讲 第5章 原函数与不定积分 第5题
📝 题目
例 5 求 $\displaystyle{\int \frac{{x}^{2}}{{x}^{2} + 1}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle{\int \frac{{x}^{2}}{{x}^{2} + 1}\mathrm{\;d}x = \int \frac{{x}^{2} + 1 - 1}{{x}^{2} + 1}\mathrm{\;d}x}$
$$ = \int \left( {1 - \frac{1}{1 + {x}^{2}}}\right) \mathrm{d}x $$
$$ = x - \arctan x + C\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将被积函数分解为简单形式
观察到分子次数等于分母次数，将分子改写为分母加一个常数项，即 x^2 = (x^2+1) - 1，从而将积分拆分为两个部分。
公式：x^2 = (x^2+1) - 1
提示：当分子次数等于分母次数时，常用加减常数的方法进行拆分。
步骤 2/3
目标：拆分积分
将原积分写为 ∫[(x^2+1)/(x^2+1) - 1/(x^2+1)] dx = ∫[1 - 1/(1+x^2)] dx。
公式：∫ (x^2)/(x^2+1) dx = ∫ (1 - 1/(1+x^2)) dx
提示：注意拆分后要确保每个部分都是基本积分形式。
步骤 3/3
目标：分别积分
∫1 dx = x，∫1/(1+x^2) dx = arctan x，因此结果为 x - arctan x + C。
公式：∫1 dx = x, ∫1/(1+x^2) dx = arctan x
提示：记住基本积分公式：∫1/(1+x^2) dx = arctan x + C。
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