新讲 第5章 原函数与不定积分 第7题
📝 题目
例 7 求 $\displaystyle{\int \frac{{x}^{2} + x - 1}{{x}^{3} - 2{x}^{2} + x - 2}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle \int \frac{{x}^{2} + x - 1}{{x}^{3} - 2{x}^{2} + x - 2}\mathrm{\;d}x = \int \frac{\left( {{x}^{2} + 1}\right) + \left( {x - 2}\right) }{\left( {{x}^{2} + 1}\right) \left( {x - 2}\right) }\mathrm{d}x$
$$ = \int \frac{\mathrm{d}x}{x - 2} + \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2} + 1} $$
$$ = \ln \left| {x - 2}\right| + \arctan x + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：因式分解分母
分母 x^3 - 2x^2 + x - 2 可以因式分解为 (x^2 + 1)(x - 2)。
公式：x^3 - 2x^2 + x - 2 = (x^2 + 1)(x - 2)
提示：尝试分组分解：x^3 - 2x^2 + x - 2 = x^2(x-2) + (x-2) = (x-2)(x^2+1)。
步骤 2/4
目标：拆分分子并化简被积函数
分子 x^2 + x - 1 可以写成 (x^2 + 1) + (x - 2)，因此被积函数化为 (x^2+1)/((x^2+1)(x-2)) + (x-2)/((x^2+1)(x-2)) = 1/(x-2) + 1/(x^2+1)。
公式：x^2 + x - 1 = (x^2 + 1) + (x - 2)
提示：注意分子与分母因式的对应关系，便于拆分。
步骤 3/4
目标：分别积分
积分 ∫ 1/(x-2) dx = ln|x-2| + C1，∫ 1/(x^2+1) dx = arctan x + C2。
公式：∫ 1/(x-2) dx = ln|x-2| + C, ∫ 1/(x^2+1) dx = arctan x + C
提示：基本积分公式：∫ 1/(x-a) dx = ln|x-a| + C，∫ 1/(x^2+1) dx = arctan x + C。
步骤 4/4
目标：合并结果
将两个积分结果相加，得到最终答案 ln|x-2| + arctan x + C。
公式：∫ (x^2+x-1)/(x^3-2x^2+x-2) dx = ln|x-2| + arctan x + C
提示：常数C为任意常数。
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