新讲 第5章 原函数与不定积分 第3题
📝 题目
例 3 求 $\displaystyle \int \frac{{\left( \ln x\right) }^{k}}{x}\mathrm{\;d}x$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle \int \frac{{\left( \ln x\right) }^{k}}{x}\mathrm{\;d}x = \int {\left( \ln x\right) }^{k}\mathrm{\;d}\left( {\ln x}\right)$
$$ = \frac{1}{k + 1}{\left( \ln x\right) }^{k + 1} + C. $$
更一般地, 我们有公式:
$$ \int \frac{g\left( {\ln x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x = \int g\left( {\ln x}\right) \mathrm{d}\left( {\ln x}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别被积函数形式，进行变量代换
注意到被积函数为 (ln x)^k / x，其中分母 x 与 ln x 的导数有关。令 u = ln x，则 du = (1/x) dx，因此原积分化为 ∫ u^k du。
公式：u = ln x, du = (1/x) dx
提示：当被积函数含有 ln x 且分母为 x 时，常考虑将 ln x 视为整体进行换元。
步骤 2/4
目标：计算积分
计算 ∫ u^k du，根据幂函数积分公式，当 k ≠ -1 时，结果为 u^(k+1)/(k+1) + C。
公式：∫ u^k du = u^(k+1)/(k+1) + C (k ≠ -1)
提示：注意 k = -1 时，积分结果为 ln|u| + C，但此处未特别说明，默认 k ≠ -1。
步骤 3/4
目标：回代变量
将 u = ln x 代回，得到原积分为 (ln x)^(k+1)/(k+1) + C。
提示：回代时注意不要遗漏常数 C。
步骤 4/4
目标：推广到一般形式
更一般地，对于形如 ∫ g(ln x)/x dx 的积分，均可通过换元 u = ln x 化为 ∫ g(u) du。
公式：∫ g(ln x)/x dx = ∫ g(u) du, u = ln x
提示：此公式适用于任何连续函数 g。
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