新讲 第5章 原函数与不定积分 第3题
📝 题目
例 3 求 $\displaystyle{\int x\arctan x\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle \int x\arctan x\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}\int \arctan x\mathrm{\;d}\left( {x}^{2}\right)$
$$ = \frac{1}{2}{x}^{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int {x}^{2}\mathrm{\;d}\left( {\arctan x}\right) $$
$$ = \frac{1}{2}{x}^{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int \frac{{x}^{2}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{2}{x}^{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int \left( {1 - \frac{1}{1 + {x}^{2}}}\right) \mathrm{d}x $$
$$ = \frac{1}{2}{x}^{2}\arctan x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\arctan x + C $$
$$ = \frac{1}{2}\left( {{x}^{2} + 1}\right) \arctan x - \frac{1}{2}x + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将积分转化为分部积分形式
将 x dx 凑成 d(x^2)/2，即 ∫ x arctan x dx = 1/2 ∫ arctan x d(x^2)。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：选择 u = arctan x, dv = x dx，但这里先凑微分。
步骤 2/6
目标：应用分部积分公式
令 u = arctan x, dv = d(x^2)/2，则 du = 1/(1+x^2) dx, v = x^2/2。所以原式 = (1/2)x^2 arctan x - (1/2)∫ x^2 d(arctan x)。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意 d(arctan x) = 1/(1+x^2) dx。
步骤 3/6
目标：化简积分项
d(arctan x) = 1/(1+x^2) dx，所以 ∫ x^2 d(arctan x) = ∫ x^2/(1+x^2) dx。
公式：d(arctan x) = 1/(1+x^2) dx
提示：将微分形式转化为 dx 积分。
步骤 4/6
目标：化简被积函数
x^2/(1+x^2) = 1 - 1/(1+x^2)，所以 ∫ x^2/(1+x^2) dx = ∫ (1 - 1/(1+x^2)) dx。
公式：x^2/(1+x^2) = 1 - 1/(1+x^2)
提示：通过多项式除法化简。
步骤 5/6
目标：计算积分
∫ (1 - 1/(1+x^2)) dx = x - arctan x + C。
公式：∫ 1/(1+x^2) dx = arctan x + C
提示：基本积分公式。
步骤 6/6
目标：代入并整理结果
原式 = (1/2)x^2 arctan x - (1/2)(x - arctan x) + C = (1/2)(x^2+1) arctan x - (1/2)x + C。
提示：合并同类项，注意常数 C。
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