方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.4题
📝 题目
5.4.4 求曲面 $x = u\cos v,y = u\sin v,z = v$ 在 $\left( {\sqrt{2},\sqrt{2},\pi /4}\right)$ 点的切平面方程.
💡 答案解析
### 5.4.3 求下列曲面在指定点的切平面和法线方程
#### (1) $x^2 + y^2 + z^2 = 169,\; M(3,4,12)$
**解** 曲面方程可写为 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-169=0$。 梯度为 $$ \nabla F = (2x,2y,2z) $$ 在点 $M(3,4,12)$ 处： $$ \nabla F(M) = (6,8,24) $$ 切平面方程： $$ 6(x-3) + 8(y-4) + 24(z-12) = 0 $$ 化简： $$ 6x - 18 + 8y - 32 + 24z - 288 = 0 \implies 6x+8y+24z = 338 $$ 两边除以2： $$ 3x + 4y + 12z = 169 $$ 法线方程（方向向量为 $(6,8,24)$ 或简化 $(3,4,12)$）： $$ \frac{x-3}{3} = \frac{y-4}{4} = \frac{z-12}{12} $$
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#### (2) $z = \arctan(x/y),\; M(1,1,\pi/4)$
**解** 令 $F(x,y,z) = \arctan(x/y) - z = 0$。 求偏导： $$ F_x = \frac{1}{1+(x/y)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2+y^2} $$ $$ F_y = \frac{1}{1+(x/y)^2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{x^2+y^2} $$ $$ F_z = -1 $$ 在点 $M(1,1,\pi/4)$： $$ F_x = \frac{1}{1+1} = \frac12,\quad F_y = -\frac{1}{2},\quad F_z = -1 $$ 切平面方程： $$ \frac12 (x-1) - \frac12 (y-1) - (z-\pi/4) = 0 $$ 化简： $$ \frac12 x - \frac12 - \frac12 y + \frac12 - z + \frac{\pi}{4} = 0 $$ $$ \frac12 x - \frac12 y - z + \frac{\pi}{4} = 0 $$ 两边乘以2： $$ x - y - 2z + \frac{\pi}{2} = 0 $$ 法线方程： $$ \frac{x-1}{1/2} = \frac{y-1}{-1/2} = \frac{z-\pi/4}{-1} $$ 即 $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-\pi/4}{-2} $$
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#### (3) $3x^2 + 2y^2 = 2x + 1$，未指定点，可能为柱面，缺 $z$ 变量，通常理解为在任意点 $(x_0,y_0,z_0)$ 满足方程，但此处题目可能不完整。若理解为空间曲面（母线平行于z轴），则法向量与z无关。
令 $F(x,y,z) = 3x^2+2y^2-2x-1=0$，则 $$ \nabla F = (6x-2,\;4y,\;0) $$ 切平面方程在点 $(x_0,y_0,z_0)$： $$ (6x_0-2)(x-x_0) + 4y_0(y-y_0) = 0 $$ 法线方程： $$ \frac{x-x_0}{6x_0-2} = \frac{y-y_0}{4y_0},\quad z=z_0 $$ （若题目有指定点请补充）
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#### (4) $z = y + \ln(x/z)$，未指定点
**解** 改写为 $F(x,y,z)= y + \ln x - \ln z - z = 0$。 求偏导： $$ F_x = \frac{1}{x},\quad F_y = 1,\quad F_z = -\frac{1}{z} - 1 $$ 在任意点 $(x_0,y_0,z_0)$ 满足原方程处，切平面： $$ \frac{1}{x_0}(x-x_0) + (y-y_0) + \left(-\frac{1}{z_0}-1\right)(z-z_0)=0 $$ 法线： $$ \frac{x-x_0}{1/x_0} = \frac{y-y_0}{1} = \frac{z-z_0}{-1-1/z_0} $$
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### 5.4.4 曲面 $x = u\cos v,\; y = u\sin v,\; z = v$ 在点 $(\sqrt{2},\sqrt{2},\pi/4)$
**解** 先找出对应的参数：由 $x=y=\sqrt{2}$ 得 $u\cos v = u\sin v$，所以 $\tan v=1$，结合 $z=v=\pi/4$，得 $v=\pi/4$，此时 $u\cos(\pi/4)=u\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，故 $u=2$。
计算切向量： $$ \mathbf{r}_u = (\cos v,\sin v,0),\quad \mathbf{r}_v = (-u\sin v, u\cos v,1) $$ 在 $(u=2,v=\pi/4)$： $$ \mathbf{r}_u = \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right),\quad \mathbf{r}_v = \left(-2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},1\right) = (-\sqrt{2},\sqrt{2},1) $$ 法向量： $$ \mathbf{n} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} & 1 \end{vmatrix} $$ 计算： $$ \mathbf{i} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1 - 0\cdot \sqrt{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1 - 0\cdot (-\sqrt{2}) \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (-\sqrt{2}) \right) $$ $$ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\; -\frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 2 \right) $$ 可乘以2简化：$(\sqrt{2},-\sqrt{2},4)$。
切平面方程在点 $(\sqrt{2},\sqrt{2},\pi/4)$： $$ \sqrt{2}(x-\sqrt{2}) - \sqrt{2}(y-\sqrt{2}) + 4(z-\pi/4)=0 $$ 化简： $$ \sqrt{2}x - 2 - \sqrt{2}y + 2 + 4z - \pi = 0 $$ $$ \sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 4z = \pi $$
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### 5.4.5 曲面 $x^2+2y^2+3z^2=21$ 的平行于平面 $x+4y+6z=0$ 的切平面
**解** 令 $F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21$，梯度为 $$ \nabla F = (2x,4y,6z) $$ 切平面法向量需平行于 $(1,4,6)$，故存在 $\lambda$ 使 $$ (2x,4y,6z) = \lambda(1,4,6) $$ 得 $$ 2x = \lambda,\quad 4y = 4\lambda \implies y = \lambda,\quad 6z = 6\lambda \implies z