方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.5题
📝 题目
5. 5.1 求下列极限:}
(1) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}{\int }_{-1}^{1}\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}\mathrm{\;d}y}$ ; (2) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}{\int }_{0}^{2}{y}^{2}\cos {xy}\mathrm{\;d}y}$ ; (3) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow 0}}{\int }_{a}^{1 + a}\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2} + {a}^{2}}}$ .
💡 答案解析
5. 5.1 (1) $1;\;\left( 2\right) \frac{8}{3};\;\left( 3\right) \frac{\pi }{4}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算极限 (1) lim_{x→0} ∫_{-1}^{1} √(x² + y²) dy
由于积分区间固定，被积函数连续，极限可交换次序：lim_{x→0} ∫_{-1}^{1} √(x² + y²) dy = ∫_{-1}^{1} √(0² + y²) dy = ∫_{-1}^{1} |y| dy。计算 ∫_{-1}^{1} |y| dy = 2∫_{0}^{1} y dy = 2 * (1/2) = 1。
公式：lim_{x→0} ∫ f(x,y) dy = ∫ lim_{x→0} f(x,y) dy（一致收敛）
提示：注意被积函数在x=0时变为|y|，积分区间对称，利用偶函数性质简化。
步骤 2/3
目标：计算极限 (2) lim_{x→0} ∫_{0}^{2} y² cos(xy) dy
极限与积分交换次序：lim_{x→0} ∫_{0}^{2} y² cos(xy) dy = ∫_{0}^{2} y² cos(0) dy = ∫_{0}^{2} y² dy = [y³/3]_{0}^{2} = 8/3。
公式：lim_{x→0} ∫ f(x,y) dy = ∫ lim_{x→0} f(x,y) dy（一致收敛）
提示：cos(xy)在x=0时为1，直接代入。
步骤 3/3
目标：计算极限 (3) lim_{a→0} ∫_{a}^{1+a} dx/(1+x²+a²)
积分区间随a变化，但被积函数连续。先求原函数：∫ dx/(1+x²+a²) = (1/√(1+a²)) arctan(x/√(1+a²))。代入上下限得：F(a) = (1/√(1+a²)) [arctan((1+a)/√(1+a²)) - arctan(a/√(1+a²))]。当a→0时，√(1+a²)→1，arctan((1+a)/1)→arctan(1)=π/4，arctan(a/1)→0，所以极限为π/4。
公式：∫ dx/(1+x²+a²) = (1/√(1+a²)) arctan(x/√(1+a²)) + C
提示：注意积分限含a，不能直接交换极限与积分，需先积分再取极限。
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