📝 题目
5.5.4 求 ${F}^{\prime }\left( x\right)$ :
(1) $F\left( x\right) = {\int }_{\sin x}^{\cos x}{\mathrm{e}}^{x\sqrt{1 - {y}^{2}}}\mathrm{\;d}y$ ; (2) $F\left( x\right) = {\int }_{a + x}^{b + x}\frac{\sin {xy}}{y}\mathrm{\;d}y$ ;
(3) $F\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}{\int }_{{t}^{2}}^{{x}^{2}}f\left( {t,s}\right) \mathrm{d}s\mathrm{\;d}t$ .
💡 答案解析
5.5.4 (1) $\displaystyle{- \sin x{\mathrm{e}}^{x\left| {\sin x}\right| } - \cos x{\mathrm{e}}^{x\left| {\cos x}\right| } + {\int }_{\sin x}^{\cos x}\sqrt{1 - {y}^{2}}{\mathrm{e}}^{x\sqrt{1 - {y}^{2}}}\mathrm{\;d}y}$ ;
(2) $\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{b + x}}\right) \sin x\left( {b + x}\right) - \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{a + x}}\right) \sin x\left( {a + x}\right)$ ；
(3) ${2x}{\int }_{0}^{x}f\left( {t,{x}^{2}}\right) \mathrm{d}t$ .
📋 详细解题步骤
目标：求F'(x)对于(1) F(x)=∫_{sin x}^{cos x} e^{x√(1-y^2)} dy
使用含参变量积分的求导公式：F'(x)=∫_{a(x)}^{b(x)} ∂/∂x f(x,y) dy + f(x,b(x)) b'(x) - f(x,a(x)) a'(x)。这里a(x)=sin x, b(x)=cos x, f(x,y)=e^{x√(1-y^2)}。计算偏导数：∂f/∂x = √(1-y^2) e^{x√(1-y^2)}。a'(x)=cos x, b'(x)=-sin x。代入得：F'(x)=∫_{sin x}^{cos x} √(1-y^2) e^{x√(1-y^2)} dy + e^{x√(1-cos^2 x)} * (-sin x) - e^{x√(1-sin^2 x)} * cos x。注意√(1-cos^2 x)=|sin x|, √(1-sin^2 x)=|cos x|。所以F'(x)= -sin x e^{x|sin x|} - cos x e^{x|cos x|} + ∫_{sin x}^{cos x} √(1-y^2) e^{x√(1-y^2)} dy。
公式：含参变量积分求导公式：d/dx ∫_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) dy = ∫_{a(x)}^{b(x)} ∂f/∂x dy + f(x,b(x)) b'(x) - f(x,a(x)) a'(x)
提示：注意绝对值处理：√(1-cos^2 x)=|sin x|，√(1-sin^2 x)=|cos x|。
目标：求F'(x)对于(2) F(x)=∫_{a+x}^{b+x} (sin(xy))/y dy
同样使用含参变量积分求导公式。a(x)=a+x, b(x)=b+x, f(x,y)=sin(xy)/y。∂f/∂x = cos(xy) * y / y = cos(xy)。a'(x)=1, b'(x)=1。代入得：F'(x)=∫_{a+x}^{b+x} cos(xy) dy + (sin(x(b+x))/(b+x)) * 1 - (sin(x(a+x))/(a+x)) * 1。计算积分：∫ cos(xy) dy = (1/x) sin(xy)（注意x≠0）。所以F'(x)= (1/x)[sin(x(b+x)) - sin(x(a+x))] + sin(x(b+x))/(b+x) - sin(x(a+x))/(a+x)。合并项：F'(x)= (1/x + 1/(b+x)) sin(x(b+x)) - (1/x + 1/(a+x)) sin(x(a+x))。
公式：含参变量积分求导公式；∫ cos(xy) dy = (1/x) sin(xy)
提示：注意x≠0，若x=0需单独处理。
目标：求F'(x)对于(3) F(x)=∫_0^x ∫_{t^2}^{x^2} f(t,s) ds dt
这是累次积分，先对s积分再对t积分。F(x)=∫_0^x G(t,x) dt，其中G(t,x)=∫_{t^2}^{x^2} f(t,s) ds。求导时注意上限x和积分限中的x。使用莱布尼茨法则：F'(x)=G(x,x) * 1 + ∫_0^x ∂G/∂x dt。但G(x,x)=∫_{x^2}^{x^2} f(x,s) ds = 0。而∂G/∂x = f(t, x^2) * 2x（因为上限x^2对x求导得2x，下限t^2与x无关）。所以F'(x)=∫_0^x 2x f(t, x^2) dt = 2x ∫_0^x f(t, x^2) dt。
公式：莱布尼茨法则：d/dx ∫_a^x H(t,x) dt = H(x,x) + ∫_a^x ∂H/∂x dt
提示：注意内层积分上限x^2对x求导得2x，下限t^2与x无关。