方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.1题
📝 题目
6. 1.1 试求 ${\mathbf{R}}^{2}$ 中点集 $E = \{ \left( {x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,x$ 与 $y$ 至少有一为有理数 $\}$ 的内容度和外容度. 问 $E$ 是否是可测图形?
💡 答案解析
6. 1.1 ${V}^{ - }\left( E\right) = 0,{V}^{ + }\left( E\right) = 1$ ,故 $E$ 不可测.
6.1.3 取 ${E}_{1}$ 为题 6.1.1 中的 $E,{E}_{2} = \{ \left( {x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} \smallsetminus {E}_{1}$ , ${E}_{1} \smallsetminus {E}_{2}$ 是不可测图形.
6.1.5 不可积.
6.1.6 若 $\Omega$ 是容度为零的可测图形知结论不正确.
6.1.9 用直线 $x - y = {c}_{i}$ 把区域分割成几个小区域.
6.1.11 ${\underline{R}}^{m}$ 的 $n$ 阶网格可用作 $Q$ 的一个分划 $\left\{ {{\Omega }_{1},\cdots ,{\Omega }_{l}}\right\}$ ,若闭立方体 ${\Omega }_{i}$ 含于 $\bar{\Omega }$ 内,但不含于 $\mathring{\Omega }$ 内,必要时可对 ${\Omega }_{i}$ 添加一线段. 若闭立方体 ${\Omega }_{i}$ 与 $\Omega$ 的交集为空集,必要时也可对 ${\Omega }_{i}$ 添加一线段,这样得到 $\left\{ {{\Omega }_{1},\cdots ,{\Omega }_{l}}\right\}$ 仍为 $Q$ 的一个分划.