方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.1题

教材习题

📝 题目

6. 1.11 设 $\Omega$ 为 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中点集, $Q$ 为长方体, $\Omega \subset {Q}^{ \circ }$ . 定义函数

$$ \chi \left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & x \in \Omega , \\ 0, & x \in Q \smallsetminus \Omega . \end{array}\right. $$

若 $\chi \left( x\right)$ 在 $Q$ 上可积,证明: $\Omega$ 为可测图形.

💡 答案解析

6. 1.1 ${V}^{ - }\left( E\right) = 0,{V}^{ + }\left( E\right) = 1$ ,故 $E$ 不可测.

6.1.3 取 ${E}_{1}$ 为题 6.1.1 中的 $E,{E}_{2} = \{ \left( {x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} \smallsetminus {E}_{1}$ , ${E}_{1} \smallsetminus {E}_{2}$ 是不可测图形.

6.1.5 不可积.

6.1.6 若 $\Omega$ 是容度为零的可测图形知结论不正确.

6.1.9 用直线 $x - y = {c}_{i}$ 把区域分割成几个小区域.

6.1.11 ${\underline{R}}^{m}$ 的 $n$ 阶网格可用作 $Q$ 的一个分划 $\left\{ {{\Omega }_{1},\cdots ,{\Omega }_{l}}\right\}$ ,若闭立方体 ${\Omega }_{i}$ 含于 $\bar{\Omega }$ 内,但不含于 $\mathring{\Omega }$ 内,必要时可对 ${\Omega }_{i}$ 添加一线段. 若闭立方体 ${\Omega }_{i}$ 与 $\Omega$ 的交集为空集,必要时也可对 ${\Omega }_{i}$ 添加一线段,这样得到 $\left\{ {{\Omega }_{1},\cdots ,{\Omega }_{l}}\right\}$ 仍为 $Q$ 的一个分划.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：明确已知条件和待证结论
已知 Ω 是 R^m 中的点集，Q 是一个长方体，且 Ω 包含于 Q 的内部。定义特征函数 χ(x) 在 Q 上为：当 x∈Ω 时 χ(x)=1，当 x∈Q\Ω 时 χ(x)=0。假设 χ(x) 在 Q 上可积，要证明 Ω 是可测图形。
提示：可测图形是指边界勒贝格测度为零的有界点集。
步骤 2/4
目标：将可积性转化为边界测度条件
由于 χ(x) 在 Q 上可积，根据黎曼可积的充要条件，χ(x) 的不连续点集在 Q 上的勒贝格测度为零。χ(x) 的不连续点恰好是 Ω 的边界点（因为内部点连续，外部点连续，边界点处左右极限不同）。因此，Ω 的边界 ∂Ω 的勒贝格测度为零。
公式：m(∂Ω) = 0
提示：注意：χ(x) 在 Ω 内部为1，在 Q\Ω 内部为0，边界点处不连续。
步骤 3/4
目标：证明 Ω 是有界集
由于 Ω ⊂ Q^∘，而 Q 是长方体，因此 Q 有界，故 Ω 也有界。
提示：有界性是定义可测图形的前提。
步骤 4/4
目标：得出结论
Ω 是有界点集，且其边界 ∂Ω 的勒贝格测度为零，根据可测图形的定义，Ω 是可测图形。
提示：可测图形定义：有界且边界勒贝格测度为零的点集。

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