方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.1题
📝 题目
6. 1.20 设 $f\left( {x,y}\right)$ 在 ${x}^{2} + {y}^{2} \leq {R}^{2}$ 上可积, $0 < h < R$ ,令
$$ F\left( {\xi ,\eta }\right) = {\iint }_{{\left( x - \xi \right) }^{2} + {\left( y - \eta \right) }^{2} \leq {h}^{2}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y. $$
证明: $F\left( {\xi ,\eta }\right)$ 在 ${\xi }^{2} + {\eta }^{2} < {\left( R - h\right) }^{2}$ 上连续.
💡 答案解析
6.1.20 证 $\left| {F\left( {\xi + {\Delta \xi },\eta + {\Delta \eta }}\right) - F\left( {\xi ,\eta }\right) }\right| \leq {2M\pi }\left\lbrack {{h}^{2} - {\left( h - \delta \right) }^{2}}\right\rbrack$ ,其中
$$ M = \mathop{\sup }\limits_{{{x}^{2} + {y}^{2} \leq {R}^{2}}}\left| {f\left( {x,y}\right) }\right| ,\;\delta = \sqrt{\Delta {\xi }^{2} + \Delta {\eta }^{2}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
已知f(x,y)在圆盘x^2+y^2≤R^2上可积，h>0，定义F(ξ,η)为以(ξ,η)为圆心、h为半径的圆盘上的积分。要证明F(ξ,η)在ξ^2+η^2<(R-h)^2上连续。
公式：F(ξ,η)=∬_{(x-ξ)^2+(y-η)^2≤h^2} f(x,y) dxdy
提示：注意积分区域随(ξ,η)移动，且(ξ,η)需保证积分区域完全包含在f的定义域内。
步骤 2/5
目标：写出连续性的定义，即证明当(Δξ,Δη)→0时，|F(ξ+Δξ,η+Δη)-F(ξ,η)|→0
设δ=√(Δξ^2+Δη^2)，考虑两个积分区域的对称差。两个圆盘半径均为h，圆心距离为δ。它们的对称差包含在两个圆环中，每个圆环的面积为π[h^2-(h-δ)^2]（当δ
公式：|F(ξ+Δξ,η+Δη)-F(ξ,η)| ≤ ∬_{对称差} |f(x,y)| dxdy
提示：利用积分的绝对值和区域面积估计。
步骤 3/5
目标：估计被积函数的上界
由于f在闭圆盘上可积，故有界。令M=sup_{x^2+y^2≤R^2}|f(x,y)|。则|F(ξ+Δξ,η+Δη)-F(ξ,η)| ≤ M·(对称差区域的面积)。
公式：M = sup_{x^2+y^2≤R^2} |f(x,y)|
提示：注意f不一定连续，但可积函数在闭区域上有界。
步骤 4/5
目标：计算对称差区域的面积
两个半径为h、圆心距为δ的圆盘，其对称差是两个圆环的并集，每个圆环的面积为π[h^2-(h-δ)^2]（当δ
公式：面积 = 2π[h^2 - (h-δ)^2] = 2π(2hδ - δ^2)
提示：当δ很小时，面积≈4πhδ，趋于0。
步骤 5/5
目标：得到不等式并取极限
因此|F(ξ+Δξ,η+Δη)-F(ξ,η)| ≤ 2Mπ[h^2-(h-δ)^2]。当(Δξ,Δη)→0时，δ→0，右边趋于0。故F在(ξ,η)连续。
公式：|F(ξ+Δξ,η+Δη)-F(ξ,η)| ≤ 2Mπ[h^2-(h-δ)^2]
提示：注意δ需小于h以保证(h-δ)^2非负，但δ→0时自然满足。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。