方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.2题
📝 题目
6.2.13 设 $\Omega$ 是以 $\left( {{x}_{i},{y}_{i},{z}_{i}}\right) \left( {i = 1,2,3,4}\right)$ 为顶点,体积为 $V\left( { > 0}\right)$ 的四面体,求
$$ {\iint }_{\Omega }x\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z $$
💡 答案解析
6.2.13 $\frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4}}{4}V$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将三重积分转化为重心坐标形式
四面体Ω的重心坐标为(x1+x2+x3+x4)/4。三重积分∭_Ω x dV等于重心x坐标乘以体积V。
公式：∭_Ω x dV = \bar{x} V
提示：重心坐标是顶点坐标的平均值。
步骤 2/2
目标：写出最终结果
因此，积分值为(x1+x2+x3+x4)/4乘以体积V。
公式：\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} V
提示：注意体积V为正数。
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