方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.2题
📝 题目
6.2.15 求 $n$ 面体: ${x}_{i} \geq 0\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right) ,{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n} \leq a\left( {a > 0}\right)$ 的容积.
💡 答案解析
6.2.15 $\frac{{a}^{n}}{n!}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题：求n维单形的体积
题目要求计算由条件 x_i ≥ 0 (i=1,...,n) 和 x_1 + x_2 + ... + x_n ≤ a (a>0) 定义的n维单形的体积。这是一个标准的n维单形，其顶点为原点(0,...,0)和坐标轴上的点(a,0,...,0), (0,a,0,...,0), ..., (0,...,0,a)。
提示：注意这是n维空间中的单形，体积公式与n有关。
步骤 2/5
目标：建立积分表达式
该单形的体积可以通过累次积分计算：V = ∫_{x_1=0}^{a} ∫_{x_2=0}^{a-x_1} ... ∫_{x_n=0}^{a-x_1-...-x_{n-1}} dx_n ... dx_2 dx_1。
公式：V = ∫_{0}^{a} ∫_{0}^{a-x_1} ... ∫_{0}^{a-∑_{i=1}^{n-1} x_i} dx_n ... dx_2 dx_1
提示：积分区域由不等式确定，注意积分限的递推关系。
步骤 3/5
目标：计算内层积分
最内层积分 ∫_{0}^{a-x_1-...-x_{n-1}} dx_n = a - x_1 - ... - x_{n-1}。然后依次向外积分。
公式：∫_{0}^{a-∑_{i=1}^{n-1} x_i} dx_n = a - ∑_{i=1}^{n-1} x_i
提示：每次积分后，被积函数次数增加1。
步骤 4/5
目标：归纳计算体积
通过归纳法或已知公式，n维单形的体积为 a^n / n!。例如，n=1时长度为a，体积为a；n=2时面积为a^2/2；n=3时体积为a^3/6。一般地，V = a^n / n!。
公式：V = a^n / n!
提示：可用数学归纳法证明：假设n-1维体积为a^{n-1}/(n-1)!，则n维体积为∫_0^a (a-x)^{n-1}/(n-1)! dx = a^n/n!。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，该n面体的容积为 a^n / n!。
公式：V = a^n / n!
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