方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.6题

教材习题

📝 题目

6. 6.1 设 $u\left( {x,y,z}\right) \in {C}^{2},f\left( t\right) \in {C}^{2}$ . 求

(1) grad $f\left( u\right)$ ; (2) div grad $f\left( u\right)$ .

${6.6.2c}$ 为常向量, $r = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}},f\left( r\right)$ 可微. 求

(1) $\operatorname{div}\left\lbrack {f\left( r\right) c}\right\rbrack$ ; (2) $\operatorname{rot}\left\lbrack {f\left( r\right) c}\right\rbrack$ .

${6.6.3c}$ 为常向量, $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k},r = \left| \mathbf{r}\right|$ . 求

(1) $\operatorname{div}\left\lbrack {\mathbf{c} \times f\left( \mathbf{r}\right) \mathbf{r}}\right\rbrack$ ; (2) rot $\left\lbrack {\mathbf{c} \times f\left( \mathbf{r}\right) \mathbf{r}}\right\rbrack$ .

💡 答案解析

6. 6.1 (1) ${f}^{\prime }\left( u\right) \nabla u$ ; (2) ${f}^{\prime \prime }\left( u\right) \nabla u \cdot \nabla u + {f}^{\prime }\left( u\right) {\Delta u}$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：求 grad f(u)
利用链式法则，梯度算子作用于复合函数 f(u(x,y,z))，得到 grad f(u) = f'(u) * grad u。
公式：grad f(u) = f'(u) ∇u
提示：注意 f 是一元函数，u 是三元函数。
步骤 2/2
目标：求 div grad f(u)
先计算 grad f(u) = f'(u) ∇u，再求散度：div(grad f(u)) = div(f'(u) ∇u) = f''(u) ∇u·∇u + f'(u) div(∇u) = f''(u) |∇u|^2 + f'(u) Δu。
公式：div(grad f(u)) = f''(u) ∇u·∇u + f'(u) Δu
提示：散度运算满足乘积法则。

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