方企勤 第一章 分析基础 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 设 $a,b > 0$ ,求证:

(1)当 $p > 1$ 时, ${a}^{p} + {b}^{p} \leq {\left( a + b\right) }^{p}$ ；

(2)当 $0 < p < 1$ 时, ${a}^{p} + {b}^{p} \geq {\left( a + b\right) }^{p}$ .

💡 答案解析

证 (1) 当 $p$ 是正整数时,利用二项式公式

$$ {\left( a + b\right) }^{p} = {a}^{p} + {C}_{p}^{1}{a}^{p - 1}b + {C}_{p}^{2}{a}^{p - 2}{b}^{2} + \cdots + {b}^{p}. $$

当 $p$ 为一般实数时,不能用二项式公式,但借鉴 $p = 2$ 时的推导:

${\left( a + b\right) }^{2} = \left( {a + b}\right) \left( {a + b}\right) = a\left( {a + b}\right) + b\left( {a + b}\right) \geq {a}^{2} + {b}^{2},$ 我们可以令 $p = 1 + h\left( {h > 0}\right)$ ,则有

$$ {\left( a + b\right) }^{p} = \left( {a + b}\right) {\left( a + b\right) }^{h} = a{\left( a + b\right) }^{h} + b{\left( a + b\right) }^{h} $$

$$ \geq a \cdot {a}^{h} + b \cdot {b}^{h} = {a}^{p} + {b}^{p}. $$

(2)令 $p = 1 - h\left( {0 < h < 1}\right)$ ,则有

$$ {\left( a + b\right) }^{p} = \left( {a + b}\right) {\left( a + b\right) }^{-h} = a{\left( a + b\right) }^{-h} + b{\left( a + b\right) }^{-h} $$

$$ \leq a \cdot {a}^{-h} + b \cdot {b}^{-h} = {a}^{p} + {b}^{p}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明当p>1时，a^p + b^p ≤ (a+b)^p
当p为正整数时，利用二项式定理展开(a+b)^p，得到a^p + C_p^1 a^{p-1}b + ... + b^p，由于所有项非负，因此(a+b)^p ≥ a^p + b^p。当p为一般实数时，令p=1+h（h>0），则(a+b)^p = (a+b)(a+b)^h = a(a+b)^h + b(a+b)^h。由于h>0，函数x^h在x>0时单调递增，所以(a+b)^h ≥ a^h且(a+b)^h ≥ b^h，因此a(a+b)^h ≥ a·a^h = a^{1+h} = a^p，同理b(a+b)^h ≥ b^p，相加得(a+b)^p ≥ a^p + b^p。
公式：(a+b)^p = (a+b)(a+b)^h = a(a+b)^h + b(a+b)^h ≥ a·a^h + b·b^h = a^p + b^p
提示：利用指数函数的单调性，将p拆分为1+h，通过比较(a+b)^h与a^h、b^h的大小关系。
步骤 2/2
目标：证明当0
令p=1-h（00，函数x^{-h}在x>0时单调递减，所以(a+b)^{-h} ≤ a^{-h}且(a+b)^{-h} ≤ b^{-h}，因此a(a+b)^{-h} ≤ a·a^{-h} = a^{1-h} = a^p，同理b(a+b)^{-h} ≤ b^p，相加得(a+b)^p ≤ a^p + b^p，即a^p + b^p ≥ (a+b)^p。
公式：(a+b)^p = (a+b)(a+b)^{-h} = a(a+b)^{-h} + b(a+b)^{-h} ≤ a·a^{-h} + b·b^{-h} = a^p + b^p
提示：注意指数为负时函数单调递减，不等号方向反转。

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