方企勤 第一章 分析基础 第5题
📝 题目
例 5 求函数 $y = {2x} + \left| {2 - x}\right| \left( {-\infty < x < + \infty }\right)$ 的反函数,并画出它的图形.
💡 答案解析
解 $\forall y$ 视 $x$ 为未知数,解方程 ${2x} + \left| {2 - x}\right| = y$ . 为了去掉绝对值, 将方程改写为
$$ y = \left\{ {\begin{array}{ll} x + 2 & \left( {x \leq 2}\right) , \\ {3x} - 2 & \left( {x > 2}\right) \end{array} \Rightarrow x = \left\{ \begin{array}{ll} y - 2 & \left( {y \leq 4}\right) , \\ \frac{y + 2}{3} & \left( {y > 4}\right) \end{array}\right. }\right. $$
$$ \overset{x,y\text{ 互换 }}{ \Rightarrow }y = \left\{ \begin{array}{ll} x - 2 & \left( {x \leq 4}\right) , \\ \frac{x + 2}{3} & \left( {x > 4}\right) . \end{array}\right. $$
如图 1.2 所示.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/002.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 1.2
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：去掉绝对值，将原函数写成分段形式
由于绝对值|2-x|在x≤2时为2-x，在x>2时为x-2，因此原函数y=2x+|2-x|可写为分段函数：当x≤2时，y=2x+(2-x)=x+2；当x>2时，y=2x+(x-2)=3x-2。
公式：y = { x+2, x≤2; 3x-2, x>2 }
提示：注意绝对值内表达式为零的点是分界点。
步骤 2/4
目标：分别解出每个分段上的反函数
对于第一段：y=x+2 (x≤2)，解得x=y-2。由x≤2得y-2≤2，即y≤4。对于第二段：y=3x-2 (x>2)，解得x=(y+2)/3。由x>2得(y+2)/3>2，即y>4。
公式：x = { y-2, y≤4; (y+2)/3, y>4 }
提示：注意反函数定义域由原函数值域决定。
步骤 3/4
目标：交换x和y得到反函数表达式
将x与y互换，得到反函数：y = { x-2, x≤4; (x+2)/3, x>4 }。
公式：y = { x-2, x≤4; (x+2)/3, x>4 }
提示：反函数的定义域是原函数的值域。
步骤 4/4
目标：画出反函数的图形
反函数图形由两条直线组成：当x≤4时，为直线y=x-2；当x>4时，为直线y=(x+2)/3。注意在x=4处两段连续（代入得y=2）。
提示：图形可参考原题图1.2。
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